Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem7 16725
 Description: Lemma 7 for funcsetcestrc 16728. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem7 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem7
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.s . . . . 5 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2 funcsetcestrc.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑆)
3 funcsetcestrc.f . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4 funcsetcestrc.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
5 funcsetcestrc.o . . . . 5 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6 funcsetcestrc.g . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))))
71, 2, 3, 4, 5, 6funcsetcestrclem5 16723 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑋𝐶)) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋𝑚 𝑋)))
87anabsan2 862 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋𝑚 𝑋)))
9 eqid 2621 . . . 4 (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
104adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑈 ∈ WUni)
111, 4setcbas 16652 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = (Base‘𝑆))
1211, 2syl6reqr 2674 . . . . . 6 (𝜑𝐶 = 𝑈)
1312eleq2d 2684 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑋𝑈))
1413biimpa 501 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋𝑈)
151, 9, 10, 14setcid 16660 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((Id‘𝑆)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
168, 15fveq12d 6156 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = (( I ↾ (𝑋𝑚 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)))
17 f1oi 6133 . . . . . 6 ( I ↾ 𝑋):𝑋1-1-onto𝑋
18 f1of 6096 . . . . . 6 (( I ↾ 𝑋):𝑋1-1-onto𝑋 → ( I ↾ 𝑋):𝑋𝑋)
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ 𝑋):𝑋𝑋
20 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋𝐶)
21 elmapg 7818 . . . . . 6 ((𝑋𝐶𝑋𝐶) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋𝑚 𝑋) ↔ ( I ↾ 𝑋):𝑋𝑋))
2220, 21sylancom 700 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋𝑚 𝑋) ↔ ( I ↾ 𝑋):𝑋𝑋))
2319, 22mpbiri 248 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋𝑚 𝑋))
24 fvresi 6396 . . . 4 (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋𝑚 𝑋) → (( I ↾ (𝑋𝑚 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ 𝑋))
2523, 24syl 17 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → (( I ↾ (𝑋𝑚 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ 𝑋))
26 eqid 2621 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
27261strbas 15904 . . . . 5 (𝑋𝐶𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
2820, 27syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
2928reseq2d 5358 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ( I ↾ 𝑋) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
3025, 29eqtrd 2655 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → (( I ↾ (𝑋𝑚 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
311, 2, 3funcsetcestrclem1 16718 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐹𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
3231fveq2d 6154 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
33 funcsetcestrc.e . . . 4 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
34 eqid 2621 . . . 4 (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
351, 2, 4, 5setc1strwun 16717 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)
3633, 34, 10, 35estrcid 16698 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((Id‘𝐸)‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
3732, 36eqtr2d 2656 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑋)))
3816, 30, 373eqtrd 2659 1 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {csn 4150  ⟨cop 4156   ↦ cmpt 4675   I cid 4986   ↾ cres 5078  ⟶wf 5845  –1-1-onto→wf1o 5848  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607   ↦ cmpt2 6609  ωcom 7015   ↑𝑚 cmap 7805  WUnicwun 9469  ndxcnx 15781  Basecbs 15784  Idccid 16250  SetCatcsetc 16649  ExtStrCatcestrc 16686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-omul 7513  df-er 7690  df-ec 7692  df-qs 7696  df-map 7807  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-wun 9471  df-ni 9641  df-pli 9642  df-mi 9643  df-lti 9644  df-plpq 9677  df-mpq 9678  df-ltpq 9679  df-enq 9680  df-nq 9681  df-erq 9682  df-plq 9683  df-mq 9684  df-1nq 9685  df-rq 9686  df-ltnq 9687  df-np 9750  df-plp 9752  df-ltp 9754  df-enr 9824  df-nr 9825  df-c 9889  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-fz 12272  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-hom 15890  df-cco 15891  df-cat 16253  df-cid 16254  df-setc 16650  df-estrc 16687 This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  16728
 Copyright terms: Public domain W3C validator