MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem8 17400
Description: Lemma 8 for funcsetcestrc 17402. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem8
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6645 . . . 4 ( I ↾ (𝑌m 𝑋)):(𝑌m 𝑋)–1-1-onto→(𝑌m 𝑋)
2 f1of 6608 . . . 4 (( I ↾ (𝑌m 𝑋)):(𝑌m 𝑋)–1-1-onto→(𝑌m 𝑋) → ( I ↾ (𝑌m 𝑋)):(𝑌m 𝑋)⟶(𝑌m 𝑋))
31, 2mp1i 13 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ( I ↾ (𝑌m 𝑋)):(𝑌m 𝑋)⟶(𝑌m 𝑋))
4 elmapi 8417 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑌m 𝑋) → 𝑓:𝑋𝑌)
5 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐶𝑌𝐶))
65ancomd 462 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑌𝐶𝑋𝐶))
7 elmapg 8408 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐶𝑋𝐶) → (𝑓 ∈ (𝑌m 𝑋) ↔ 𝑓:𝑋𝑌))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑌m 𝑋) ↔ 𝑓:𝑋𝑌))
98biimpar 478 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑌m 𝑋))
10 funcsetcestrc.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
11 funcsetcestrc.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = (Base‘𝑆)
12 funcsetcestrc.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
1310, 11, 12funcsetcestrclem1 17392 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌𝐶) → (𝐹𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
1413fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌𝐶) → (Base‘(𝐹𝑌)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
15 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}
16151strbas 16587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝐶𝑌 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
1716eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
1914, 18eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌𝐶) → (Base‘(𝐹𝑌)) = 𝑌)
2019adantrl 712 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑌)) = 𝑌)
2110, 11, 12funcsetcestrclem1 17392 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐹𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
2221fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → (Base‘(𝐹𝑋)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
23 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
24231strbas 16587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐶𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
2524adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
2622, 25eqtr4d 2856 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → (Base‘(𝐹𝑋)) = 𝑋)
2726adantrr 713 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑋)) = 𝑋)
2820, 27oveq12d 7163 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋))) = (𝑌m 𝑋))
2928adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋𝑌) → ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋))) = (𝑌m 𝑋))
309, 29eleqtrrd 2913 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋𝑌) → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋))))
3130ex 413 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑓:𝑋𝑌𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋)))))
324, 31syl5 34 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑌m 𝑋) → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋)))))
3332ssrdv 3970 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑌m 𝑋) ⊆ ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋))))
343, 33fssd 6521 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ( I ↾ (𝑌m 𝑋)):(𝑌m 𝑋)⟶((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋))))
35 funcsetcestrc.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
36 funcsetcestrc.o . . . 4 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
37 funcsetcestrc.g . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))))
3810, 11, 12, 35, 36, 37funcsetcestrclem5 17397 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌) = ( I ↾ (𝑌m 𝑋)))
3935adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
40 eqid 2818 . . . 4 (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
4110, 35setcbas 17326 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 = (Base‘𝑆))
4241, 11syl6reqr 2872 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 = 𝑈)
4342eleq2d 2895 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑋𝑈))
4443biimpd 230 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑋𝑈))
4544adantrd 492 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑋𝑈))
4645imp 407 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑋𝑈)
4742eleq2d 2895 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌𝐶𝑌𝑈))
4847biimpd 230 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌𝐶𝑌𝑈))
4948adantld 491 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑌𝑈))
5049imp 407 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑌𝑈)
5110, 39, 40, 46, 50setchom 17328 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) = (𝑌m 𝑋))
52 funcsetcestrc.e . . . 4 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
53 eqid 2818 . . . 4 (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
5410, 11, 12, 35, 36funcsetcestrclem2 17393 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
5554adantrr 713 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
5610, 11, 12, 35, 36funcsetcestrclem2 17393 . . . . 5 ((𝜑𝑌𝐶) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑈)
5756adantrl 712 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑈)
58 eqid 2818 . . . 4 (Base‘(𝐹𝑋)) = (Base‘(𝐹𝑋))
59 eqid 2818 . . . 4 (Base‘(𝐹𝑌)) = (Base‘(𝐹𝑌))
6052, 39, 53, 55, 57, 58, 59estrchom 17365 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ((𝐹𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑌)) = ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋))))
6138, 51, 60feq123d 6496 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ((𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑌)) ↔ ( I ↾ (𝑌m 𝑋)):(𝑌m 𝑋)⟶((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋)))))
6234, 61mpbird 258 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {csn 4557  cop 4563  cmpt 5137   I cid 5452  cres 5550  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  ωcom 7569  m cmap 8395  WUnicwun 10110  ndxcnx 16468  Basecbs 16471  Hom chom 16564  SetCatcsetc 17323  ExtStrCatcestrc 17360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-wun 10112  df-ni 10282  df-pli 10283  df-mi 10284  df-lti 10285  df-plpq 10318  df-mpq 10319  df-ltpq 10320  df-enq 10321  df-nq 10322  df-erq 10323  df-plq 10324  df-mq 10325  df-1nq 10326  df-rq 10327  df-ltnq 10328  df-np 10391  df-plp 10393  df-ltp 10395  df-enr 10465  df-nr 10466  df-c 10531  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-hom 16577  df-cco 16578  df-setc 17324  df-estrc 17361
This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  17402  fthsetcestrc  17403  fullsetcestrc  17404
  Copyright terms: Public domain W3C validator