Theorem fundmpss 33004

Description: If a class 𝐹 is a proper subset of a function 𝐺, then dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺. (Contributed by Scott Fenton, 20-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fundmpss	⊢ (Fun 𝐺 → (𝐹 ⊊ 𝐺 → dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺))

Proof of Theorem fundmpss

Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssss 4071	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊊ 𝐺 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
2		dmss 5765	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊊ 𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (Fun 𝐺 → (𝐹 ⊊ 𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺))
5		pssdif 4325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊊ 𝐺 → (𝐺 ∖ 𝐹) ≠ ∅)
6		n0 4309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∖ 𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹))
7	5, 6	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⊊ 𝐺 → ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹))
8	7	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹))
9		funrel 6366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun 𝐺 → Rel 𝐺)
10		reldif 5682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Rel 𝐺 → Rel (𝐺 ∖ 𝐹))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun 𝐺 → Rel (𝐺 ∖ 𝐹))
12		elrel 5665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Rel (𝐺 ∖ 𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹)) → ∃𝑥∃𝑦 𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
13		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐺 ∖ 𝐹)))
14		df-br 5059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐺 ∖ 𝐹))
15	13, 14	syl6bbr 291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹) ↔ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦))
16	15	biimpcd 251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹) → (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦))
17	16	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Rel (𝐺 ∖ 𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹)) → (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦))
18	17	2eximdv 1916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Rel (𝐺 ∖ 𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹)) → (∃𝑥∃𝑦 𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ∃𝑥∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦))
19	12, 18	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Rel (𝐺 ∖ 𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹)) → ∃𝑥∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦)
20	19	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Rel (𝐺 ∖ 𝐹) → (𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹) → ∃𝑥∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦))
21	11, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝐺 → (𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹) → ∃𝑥∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦))
22	21	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → (𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹) → ∃𝑥∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦))
23		difss 4107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐺
24	23	ssbri 5103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → 𝑥𝐺𝑦)
25	24	eximi 1831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦)
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦))
27		brdif 5111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ 𝑥𝐹𝑦))
28	27	simprbi 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → ¬ 𝑥𝐹𝑦)
29	28	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) ∧ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦) → ¬ 𝑥𝐹𝑦)
30	1	ssbrd 5101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ⊊ 𝐺 → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐺𝑧))
31	30	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) ∧ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐺𝑧))
32		dffun2 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ (Rel 𝐺 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
33	32	simprbi 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Fun 𝐺 → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
34		2sp 2181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧) → ((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
35	34	sps 2180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧) → ((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Fun 𝐺 → ((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
37		breq2 5062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑧))
38	37	biimprd 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐹𝑦))
39	36, 38	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Fun 𝐺 → ((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑥𝐺𝑧) → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐹𝑦)))
40	39	expd 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Fun 𝐺 → (𝑥𝐺𝑦 → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐹𝑦))))
41	27	simplbi 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → 𝑥𝐺𝑦)
42	40, 41	impel 508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦) → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐹𝑦)))
43	42	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) ∧ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦) → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐹𝑦)))
44	43	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) ∧ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧 → (𝑥𝐺𝑧 → 𝑥𝐹𝑦)))
45	31, 44	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) ∧ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐹𝑦))
46	45	exlimdv 1930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) ∧ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦) → (∃𝑧 𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐹𝑦))
47	29, 46	mtod 200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) ∧ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦) → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
48	47	ex 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → (𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
49	48	exlimdv 1930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
50	26, 49	jcad 515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → (∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
51	50	eximdv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → (∃𝑥∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
52	22, 51	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → (𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
53	52	exlimdv 1930	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → (∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
54	8, 53	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
55		nss 4028	. . . . . 6 ⊢ (¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
56		vex 3497	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
57	56	eldm 5763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦)
58	56	eldm 5763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
59	58	notbii 322	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
60	57, 59	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ (∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
61	60	exbii 1844	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
62	55, 61	bitri 277	. . . . 5 ⊢ (¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹 ↔ ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
63	54, 62	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹)
64	63	ex 415	. . 3 ⊢ (Fun 𝐺 → (𝐹 ⊊ 𝐺 → ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹))
65	4, 64	jcad 515	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 → (𝐹 ⊊ 𝐺 → (dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺 ∧ ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹)))
66		dfpss3 4062	. 2 ⊢ (dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺 ↔ (dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺 ∧ ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹))
67	65, 66	syl6ibr 254	1 ⊢ (Fun 𝐺 → (𝐹 ⊊ 𝐺 → dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398  ∀wal 1531   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3932   ⊆ wss 3935   ⊊ wpss 3936  ∅c0 4290  ⟨cop 4566   class class class wbr 5058  dom cdm 5549  Rel wrel 5554  Fun wfun 6343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-br 5059  df-opab 5121  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-fun 6351

This theorem is referenced by: (None)