MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funfvbrb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funfvbrb 6219
Description: Two ways to say that 𝐴 is in the domain of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
funfvbrb (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹𝐴𝐹(𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funfvbrb
StepHypRef Expression
1 funfvop 6218 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
2 df-br 4574 . . 3 (𝐴𝐹(𝐹𝐴) ↔ ⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
31, 2sylibr 222 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐴𝐹(𝐹𝐴))
4 funrel 5803 . . 3 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5 releldm 5262 . . 3 ((Rel 𝐹𝐴𝐹(𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
64, 5sylan 486 . 2 ((Fun 𝐹𝐴𝐹(𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
73, 6impbida 872 1 (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹𝐴𝐹(𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1975  cop 4126   class class class wbr 4573  dom cdm 5024  Rel wrel 5029  Fun wfun 5780  cfv 5786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pr 4824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-fv 5794
This theorem is referenced by:  fmptco  6284  fpwwe2lem13  9316  fpwwe2  9317  climdm  14075  invco  16196  funciso  16299  ffthiso  16354  fuciso  16400  setciso  16506  catciso  16522  lmcau  22832  dvcnp  23401  dvadd  23422  dvmul  23423  dvaddf  23424  dvmulf  23425  dvco  23429  dvcof  23430  dvcjbr  23431  dvcnvlem  23456  dvferm1  23465  dvferm2  23467  ulmdm  23864  ulmdvlem3  23873  minvecolem4a  26919  hlimf  27280  hhsscms  27322  occllem  27348  occl  27349  chscllem4  27685  fmptcof2  28641  heiborlem9  32587  bfplem1  32590  rngciso  41772  rngcisoALTV  41784  ringciso  41823  ringcisoALTV  41847
  Copyright terms: Public domain W3C validator