MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funfvbrb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funfvbrb 6813
Description: Two ways to say that 𝐴 is in the domain of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
funfvbrb (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹𝐴𝐹(𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funfvbrb
StepHypRef Expression
1 funfvop 6812 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
2 df-br 5058 . . 3 (𝐴𝐹(𝐹𝐴) ↔ ⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
31, 2sylibr 235 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐴𝐹(𝐹𝐴))
4 funrel 6365 . . 3 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5 releldm 5807 . . 3 ((Rel 𝐹𝐴𝐹(𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
64, 5sylan 580 . 2 ((Fun 𝐹𝐴𝐹(𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
73, 6impbida 797 1 (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹𝐴𝐹(𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  cop 4563   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  Rel wrel 5553  Fun wfun 6342  cfv 6348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-fv 6356
This theorem is referenced by:  fmptco  6883  fpwwe2lem13  10052  fpwwe2  10053  climdm  14899  invco  17029  ffthiso  17187  fuciso  17233  setciso  17339  catciso  17355  lmcau  23843  dvcnp  24443  dvadd  24464  dvmul  24465  dvaddf  24466  dvmulf  24467  dvco  24471  dvcof  24472  dvcjbr  24473  dvcnvlem  24500  dvferm1  24509  dvferm2  24511  ulmdm  24908  ulmdvlem3  24917  minvecolem4a  28581  hlimf  28941  hhsscms  28982  occllem  29007  occl  29008  chscllem4  29344  fmptcof2  30330  heiborlem9  34978  bfplem1  34981  iscard4  39778  xlimdm  42014  rngciso  44181  rngcisoALTV  44193  ringciso  44232  ringcisoALTV  44256
  Copyright terms: Public domain W3C validator