Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funimass4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funimass4 6204
 Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
funimass4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem funimass4
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss2 3572 . . 3 ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵))
2 eqcom 2628 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑥) = 𝑦)
3 ssel 3577 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ dom 𝐹))
4 funbrfvb 6195 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦))
54ex 450 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦)))
63, 5syl9 77 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (Fun 𝐹 → (𝑥𝐴 → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦))))
76imp31 448 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦))
82, 7syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 = (𝐹𝑥) ↔ 𝑥𝐹𝑦))
98rexbidva 3042 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥𝐹𝑦))
10 vex 3189 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
1110elima 5430 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥𝐹𝑦)
129, 11syl6rbbr 279 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) ↔ ∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝐹𝑥)))
1312imbi1d 331 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵)))
14 r19.23v 3016 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵))
1513, 14syl6bbr 278 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵)))
1615albidv 1846 . . . 4 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑦𝑥𝐴 (𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵)))
17 ralcom4 3210 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑦(𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑦𝑥𝐴 (𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵))
18 fvex 6158 . . . . . . 7 (𝐹𝑥) ∈ V
19 eleq1 2686 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝑦𝐵 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
2018, 19ceqsalv 3219 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
2120ralbii 2974 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑦(𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
2217, 21bitr3i 266 . . . 4 (∀𝑦𝑥𝐴 (𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
2316, 22syl6bb 276 . . 3 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
241, 23syl5bb 272 . 2 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
2524ancoms 469 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384  ∀wal 1478   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613  dom cdm 5074   “ cima 5077  Fun wfun 5841  ‘cfv 5847 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-fv 5855 This theorem is referenced by:  funimass3  6289  funimass5  6290  funconstss  6291  funimassov  6764  fnwelem  7237  cnfcomlem  8540  dfac12lem2  8910  ackbij1b  9005  wunom  9486  phimullem  15408  frmdss2  17321  cntzmhm2  17693  dprd2da  18362  frlmsslsp  20054  1stckgenlem  21266  txcnp  21333  ptcnplem  21334  xkopt  21368  xkoinjcn  21400  tgqtop  21425  uzrest  21611  cnflf2  21717  lmflf  21719  txflf  21720  cnextcn  21781  ghmcnp  21828  ucnima  21995  metcnp  22256  tchcph  22944  ovolficcss  23145  opnmbllem  23275  ellimc2  23547  ellimc3  23549  deg1n0ima  23753  dvloglem  24294  logf1o2  24296  dchrghm  24881  xrofsup  29377  eulerpartlemd  30209  erdszelem2  30882  cvmlift3lem7  31015  mclsax  31174  filnetlem4  32018  poimir  33074  opnmbllem0  33077  cnres2  33194  funimaeq  38937  icccncfext  39404
 Copyright terms: Public domain W3C validator