Theorem funpr 6404

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
funpr.1	⊢ 𝐴 ∈ V
funpr.2	⊢ 𝐵 ∈ V
funpr.3	⊢ 𝐶 ∈ V
funpr.4	⊢ 𝐷 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
funpr	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Proof of Theorem funpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funpr.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		funpr.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 473	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
4		funpr.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
5		funpr.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 473	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V)
7		funprg 6402	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})
8	3, 6, 7	mp3an12 1447	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Vcvv 3494  {cpr 4562  ⟨cop 4566  Fun wfun 6343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-br 5059  df-opab 5121  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-fun 6351

This theorem is referenced by:  funtp  6405  fpr  6910  fnprb  6965  1sdom  8715