MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funprgOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funprgOLD 6022
Description: Obsolete proof of funprg 6021 as of 14-Jul-2021. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
funprgOLD (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Proof of Theorem funprgOLD
StepHypRef Expression
1 simp1l 1158 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝑉)
2 simp2l 1160 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶𝑋)
3 funsng 6018 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐶𝑋) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩})
41, 2, 3syl2anc 696 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5 simp1r 1159 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝑊)
6 simp2r 1161 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐷𝑌)
7 funsng 6018 . . . 4 ((𝐵𝑊𝐷𝑌) → Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩})
85, 6, 7syl2anc 696 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩})
9 dmsnopg 5685 . . . . . 6 (𝐶𝑋 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
102, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
11 dmsnopg 5685 . . . . . 6 (𝐷𝑌 → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
126, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
1310, 12ineq12d 3891 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ({𝐴} ∩ {𝐵}))
14 disjsn2 4322 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
15143ad2ant3 1127 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
1613, 15eqtrd 2726 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅)
17 funun 6013 . . 3 (((Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
184, 8, 16, 17syl21anc 1406 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
19 df-pr 4256 . . 3 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
2019funeqi 5990 . 2 (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
2118, 20sylibr 224 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1564  wcel 2071  wne 2864  cun 3646  cin 3647  c0 3991  {csn 4253  {cpr 4255  cop 4259  dom cdm 5186  Fun wfun 5963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pr 4979
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-ral 2987  df-rex 2988  df-rab 2991  df-v 3274  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-nul 3992  df-if 4163  df-sn 4254  df-pr 4256  df-op 4260  df-br 4729  df-opab 4789  df-id 5096  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-fun 5971
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator