Theorem funtpg 6404

Description: A set of three pairs is a function if their first members are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.) (Proof shortened by JJ, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
funtpg	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})

Proof of Theorem funtpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
2		3simpa 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺))
3		simp1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑌)
4		funprg 6403	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩})
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1156	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩})
6		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑍 ∈ 𝑊)
7		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → 𝐶 ∈ 𝐻)
8		funsng 6400	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩})
9	6, 7, 8	syl2an 597	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻)) → Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩})
10	9	3adant3 1128	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩})
11		dmpropg 6067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺) → dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑋, 𝑌})
12		dmsnopg 6065	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐻 → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
13	11, 12	ineqan12d 4191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺) ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}))
14	13	3impa 1106	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}))
15		disjprsn 4644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
16	15	3adant1 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
17	14, 16	sylan9eq 2876	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ∅)
18	17	3adant1 1126	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ∅)
19		funun 6395	. . 3 ⊢ (((Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∧ Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩}) ∧ (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
20	5, 10, 18, 19	syl21anc 835	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
21		df-tp 4566	. . 3 ⊢ {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
22	21	funeqi 6371	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} ↔ Fun ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
23	20, 22	sylibr 236	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∪ cun 3934   ∩ cin 3935  ∅c0 4291  {csn 4561  {cpr 4563  {ctp 4565  ⟨cop 4567  dom cdm 5550  Fun wfun 6344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-br 5060  df-opab 5122  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-fun 6352

This theorem is referenced by:  fntpg  6409  estrres  17383