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Theorem funun 5832
Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funun (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Fun (𝐹𝐺))

Proof of Theorem funun
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funrel 5807 . . . . 5 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
2 funrel 5807 . . . . 5 (Fun 𝐺 → Rel 𝐺)
31, 2anim12i 587 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → (Rel 𝐹 ∧ Rel 𝐺))
4 relun 5147 . . . 4 (Rel (𝐹𝐺) ↔ (Rel 𝐹 ∧ Rel 𝐺))
53, 4sylibr 222 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Rel (𝐹𝐺))
65adantr 479 . 2 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Rel (𝐹𝐺))
7 elun 3714 . . . . . . . 8 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺))
8 elun 3714 . . . . . . . 8 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))
97, 8anbi12i 728 . . . . . . 7 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) ↔ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)))
10 anddi 909 . . . . . . 7 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺) ∧ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 ∨ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ↔ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
119, 10bitri 262 . . . . . 6 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) ↔ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
12 disj1 3970 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
1312biimpi 204 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ∀𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
141319.21bi 2046 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
15 imnan 436 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ dom 𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ↔ ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐺))
1614, 15sylib 206 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐺))
17 vex 3175 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
18 vex 3175 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
1917, 18opeldm 5237 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹)
20 vex 3175 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
2117, 20opeldm 5237 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐺)
2219, 21anim12i 587 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐺))
2316, 22nsyl 133 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))
24 orel2 396 . . . . . . . . 9 (¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹)))
2614con2d 127 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (𝑥 ∈ dom 𝐺 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
27 imnan 436 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ dom 𝐺 → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐹))
2826, 27sylib 206 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐹))
2917, 18opeldm 5237 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐺)
3017, 20opeldm 5237 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹)
3129, 30anim12i 587 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐹))
3228, 31nsyl 133 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹))
33 orel1 395 . . . . . . . . 9 (¬ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)))
3525, 34orim12d 878 . . . . . . 7 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ((((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
3635adantl 480 . . . . . 6 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) ∨ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
3711, 36syl5bi 230 . . . . 5 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺))))
38 dffun4 5802 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
3938simprbi 478 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
403919.21bi 2046 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → ∀𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
414019.21bbi 2047 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
42 dffun4 5802 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐺 ↔ (Rel 𝐺 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧)))
4342simprbi 478 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐺 → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧))
444319.21bi 2046 . . . . . . . 8 (Fun 𝐺 → ∀𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧))
454419.21bbi 2047 . . . . . . 7 (Fun 𝐺 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺) → 𝑦 = 𝑧))
4641, 45jaao 529 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
4746adantr 479 . . . . 5 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∨ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
4837, 47syld 45 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
4948alrimiv 1841 . . 3 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
5049alrimivv 1842 . 2 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → 𝑦 = 𝑧))
51 dffun4 5802 . 2 (Fun (𝐹𝐺) ↔ (Rel (𝐹𝐺) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐹𝐺) ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝐹𝐺)) → 𝑦 = 𝑧)))
526, 50, 51sylanbrc 694 1 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → Fun (𝐹𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 381  wa 382  wal 1472   = wceq 1474  wcel 1976  cun 3537  cin 3538  c0 3873  cop 4130  dom cdm 5028  Rel wrel 5033  Fun wfun 5784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-br 4578  df-opab 4638  df-id 4943  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-fun 5792
This theorem is referenced by:  funprg  5840  funprgOLD  5841  funtpg  5842  funtpgOLD  5843  funtp  5845  funcnvpr  5850  funcnvtp  5851  funcnvqp  5852  funcnvqpOLD  5853  fnun  5897  fvun  6163  wfrlem13  7291  tfrlem10  7347  sbthlem7  7938  sbthlem8  7939  fodomr  7973  funsnfsupp  8159  axdc3lem4  9135  setsfun  15671  setsfun0  15672  strlemor1  15742  strleun  15745  bnj1421  30170
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