Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgrfisbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fusgrfisbase 26108
 Description: Induction base for fusgrfis 26110. Main work is done in uhgr0v0e 26023. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 23-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
fusgrfisbase (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (#‘𝑉) = 0) → 𝐸 ∈ Fin)

Proof of Theorem fusgrfisbase
StepHypRef Expression
1 usgruhgr 25971 . . . . 5 (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ UHGraph )
213ad2ant2 1081 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (#‘𝑉) = 0) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ UHGraph )
3 opvtxfv 25784 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
433ad2ant1 1080 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (#‘𝑉) = 0) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
5 hasheq0 13094 . . . . . . . . 9 (𝑉𝑋 → ((#‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
65biimpd 219 . . . . . . . 8 (𝑉𝑋 → ((#‘𝑉) = 0 → 𝑉 = ∅))
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ((#‘𝑉) = 0 → 𝑉 = ∅))
87a1d 25 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph → ((#‘𝑉) = 0 → 𝑉 = ∅)))
983imp 1254 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (#‘𝑉) = 0) → 𝑉 = ∅)
104, 9eqtrd 2655 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (#‘𝑉) = 0) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = ∅)
11 eqid 2621 . . . . 5 (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
12 eqid 2621 . . . . 5 (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
1311, 12uhgr0v0e 26023 . . . 4 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ UHGraph ∧ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = ∅) → (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = ∅)
142, 10, 13syl2anc 692 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (#‘𝑉) = 0) → (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = ∅)
15 0fin 8132 . . 3 ∅ ∈ Fin
1614, 15syl6eqel 2706 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (#‘𝑉) = 0) → (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin)
17 eqid 2621 . . . . 5 (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
1817, 12usgredgffibi 26104 . . . 4 (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
19183ad2ant2 1081 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (#‘𝑉) = 0) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
20 opiedgfv 25787 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
21203ad2ant1 1080 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (#‘𝑉) = 0) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
2221eleq1d 2683 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (#‘𝑉) = 0) → ((iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
2319, 22bitrd 268 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (#‘𝑉) = 0) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
2416, 23mpbid 222 1 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (#‘𝑉) = 0) → 𝐸 ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∅c0 3891  ⟨cop 4154  ‘cfv 5847  Fincfn 7899  0cc0 9880  #chash 13057  Vtxcvtx 25774  iEdgciedg 25775  Edgcedg 25839   UHGraph cuhgr 25847   USGraph cusgr 25937 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058  df-vtx 25776  df-iedg 25777  df-edg 25840  df-uhgr 25849  df-upgr 25873  df-uspgr 25938  df-usgr 25939 This theorem is referenced by:  fusgrfis  26110
 Copyright terms: Public domain W3C validator