MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgrfisstep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fusgrfisstep 27038
Description: Induction step in fusgrfis 27039: In a finite simple graph, the number of edges is finite if the number of edges not containing one of the vertices is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 23-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
fusgrfisstep (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝}) ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑝)   𝑌(𝑝)

Proof of Theorem fusgrfisstep
StepHypRef Expression
1 residfi 8793 . 2 (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝}) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} ∈ Fin)
2 fusgrusgr 27031 . . . . . 6 (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph)
3 eqid 2818 . . . . . . 7 (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
4 eqid 2818 . . . . . . 7 (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
53, 4usgredgffibi 27033 . . . . . 6 (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
62, 5syl 17 . . . . 5 (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
763ad2ant2 1126 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
8 simp2 1129 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph)
9 opvtxfv 26716 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
109eqcomd 2824 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝑉 = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
1110eleq2d 2895 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (𝑁𝑉𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)))
1211biimpa 477 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → 𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
13 eqid 2818 . . . . . 6 (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
14 eqid 2818 . . . . . 6 {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} = {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝}
1513, 4, 14usgrfilem 27036 . . . . 5 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} ∈ Fin))
168, 12, 153imp3i2an 1337 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} ∈ Fin))
17 opiedgfv 26719 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
1817eleq1d 2894 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ((iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
19183ad2ant1 1125 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
207, 16, 193bitr3rd 311 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} ∈ Fin))
2120biimprd 249 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ({𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
221, 21syl5bi 243 1 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝}) ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079  wcel 2105  wnel 3120  {crab 3139  cop 4563   I cid 5452  cres 5550  cfv 6348  Fincfn 8497  Vtxcvtx 26708  iEdgciedg 26709  Edgcedg 26759  USGraphcusgr 26861  FinUSGraphcfusgr 27025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-hash 13679  df-vtx 26710  df-iedg 26711  df-edg 26760  df-upgr 26794  df-uspgr 26862  df-usgr 26863  df-fusgr 27026
This theorem is referenced by:  fusgrfis  27039
  Copyright terms: Public domain W3C validator