Theorem fusgrmaxsize 27240

Description: The maximum size of a finite simple graph with 𝑛 vertices is (((𝑛 − 1)∗𝑛) / 2). See statement in section I.1 of [Bollobas] p. 3 . (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 14-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgrmaxsize.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgrmaxsize	⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))

Proof of Theorem fusgrmaxsize

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgrmaxsize.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	isfusgr 27094	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
3		cusgrexg 27220	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑒⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph)
4	3	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑒⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph)
5		fusgrmaxsize.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1	fvexi 6678	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
7		vex 3497	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑒 ∈ V
8	6, 7	opvtxfvi 26788	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, 𝑒⟩) = 𝑉
9	8	eqcomi 2830	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘⟨𝑉, 𝑒⟩)
10		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩) = (Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)
11	1, 5, 9, 10	sizusglecusg 27239	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)))
12	11	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)))
13	9, 10	cusgrsize 27230	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) = ((♯‘𝑉)C2))
14		breq2 5062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) = ((♯‘𝑉)C2) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) ↔ (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2)))
15	14	biimpd 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) = ((♯‘𝑉)C2) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2)))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2)))
17	16	expcom 416	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))))
18	17	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))))
19	18	imp 409	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘(Edg‘⟨𝑉, 𝑒⟩)) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2)))
20	12, 19	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))
21	4, 20	exlimddv 1932	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))
22	2, 21	sylbi 219	1 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (♯‘𝐸) ≤ ((♯‘𝑉)C2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110  ⟨cop 4566   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Fincfn 8503   ≤ cle 10670  2c2 11686  Ccbc 13656  ♯chash 13684  Vtxcvtx 26775  Edgcedg 26826  USGraphcusgr 26928  FinUSGraphcfusgr 27092  ComplUSGraphccusgr 27186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-seq 13364  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-vtx 26777  df-iedg 26778  df-edg 26827  df-uhgr 26837  df-upgr 26861  df-umgr 26862  df-uspgr 26929  df-usgr 26930  df-fusgr 27093  df-nbgr 27109  df-uvtx 27162  df-cplgr 27187  df-cusgr 27188

This theorem is referenced by: (None)