Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgrn0degnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fusgrn0degnn0 26315
 Description: In a nonempty, finite graph there is a vertex having a nonnegative integer as degree. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
fusgrn0degnn0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
fusgrn0degnn0 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣   𝑣,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem fusgrn0degnn0
Dummy variables 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3913 . . 3 (𝑉 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘𝑉)
2 fusgrn0degnn0.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32vtxdgfusgr 26314 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∀𝑢𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0)
4 fveq2 6158 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑘 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
54eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0))
65rspcv 3295 . . . . . 6 (𝑘𝑉 → (∀𝑢𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0))
7 risset 3057 . . . . . . . 8 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
8 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑘 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
98eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) = 𝑛))
10 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . 12 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) = 𝑛𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
119, 10syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)))
1211rexbidv 3047 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑘 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)))
1312rspcev 3299 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)
1413expcom 451 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) → (𝑘𝑉 → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
157, 14sylbi 207 . . . . . . 7 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 → (𝑘𝑉 → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
1615com12 32 . . . . . 6 (𝑘𝑉 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
176, 16syld 47 . . . . 5 (𝑘𝑉 → (∀𝑢𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
183, 17syl5 34 . . . 4 (𝑘𝑉 → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
1918exlimiv 1855 . . 3 (∃𝑘 𝑘𝑉 → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
201, 19sylbi 207 . 2 (𝑉 ≠ ∅ → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
2120impcom 446 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2908  ∃wrex 2909  ∅c0 3897  ‘cfv 5857  ℕ0cn0 11252  Vtxcvtx 25808   FinUSGraph cfusgr 26130  VtxDegcvtxdg 26282 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-xadd 11907  df-fz 12285  df-hash 13074  df-vtx 25810  df-iedg 25811  df-edg 25874  df-uhgr 25883  df-upgr 25907  df-umgr 25908  df-uspgr 25972  df-usgr 25973  df-fusgr 26131  df-vtxdg 26283 This theorem is referenced by:  friendshipgt3  27144
 Copyright terms: Public domain W3C validator