MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgrn0degnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fusgrn0degnn0 26315
Description: In a nonempty, finite graph there is a vertex having a nonnegative integer as degree. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
fusgrn0degnn0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
fusgrn0degnn0 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣   𝑣,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem fusgrn0degnn0
Dummy variables 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3913 . . 3 (𝑉 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘𝑉)
2 fusgrn0degnn0.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32vtxdgfusgr 26314 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∀𝑢𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0)
4 fveq2 6158 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑘 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
54eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0))
65rspcv 3295 . . . . . 6 (𝑘𝑉 → (∀𝑢𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0))
7 risset 3057 . . . . . . . 8 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
8 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑘 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
98eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) = 𝑛))
10 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . 12 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) = 𝑛𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
119, 10syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)))
1211rexbidv 3047 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑘 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)))
1312rspcev 3299 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)
1413expcom 451 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) → (𝑘𝑉 → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
157, 14sylbi 207 . . . . . . 7 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 → (𝑘𝑉 → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
1615com12 32 . . . . . 6 (𝑘𝑉 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
176, 16syld 47 . . . . 5 (𝑘𝑉 → (∀𝑢𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
183, 17syl5 34 . . . 4 (𝑘𝑉 → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
1918exlimiv 1855 . . 3 (∃𝑘 𝑘𝑉 → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
201, 19sylbi 207 . 2 (𝑉 ≠ ∅ → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
2120impcom 446 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  c0 3897  cfv 5857  0cn0 11252  Vtxcvtx 25808   FinUSGraph cfusgr 26130  VtxDegcvtxdg 26282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-xadd 11907  df-fz 12285  df-hash 13074  df-vtx 25810  df-iedg 25811  df-edg 25874  df-uhgr 25883  df-upgr 25907  df-umgr 25908  df-uspgr 25972  df-usgr 25973  df-fusgr 26131  df-vtxdg 26283
This theorem is referenced by:  friendshipgt3  27144
  Copyright terms: Public domain W3C validator