Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgrn0eqdrusgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fusgrn0eqdrusgr 26447
 Description: If all vertices in a nonempty finite simple graph have the same (finite) degree, the graph is k-regular. (Contributed by AV, 26-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isrusgr0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isrusgr0.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
fusgrn0eqdrusgr ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾𝐺 RegUSGraph 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑣)

Proof of Theorem fusgrn0eqdrusgr
StepHypRef Expression
1 fusgrusgr 26195 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
21ad2antrr 761 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾) → 𝐺 ∈ USGraph )
3 isrusgr0.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 isrusgr0.d . . . . . 6 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
53, 4fusgrregdegfi 26446 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾𝐾 ∈ ℕ0))
65imp 445 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
76nn0xnn0d 11357 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0*)
8 simpr 477 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾) → ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾)
93, 4usgreqdrusgr 26445 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
102, 7, 8, 9syl3anc 1324 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
1110ex 450 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾𝐺 RegUSGraph 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  ∀wral 2909  ∅c0 3907   class class class wbr 4644  ‘cfv 5876  ℕ0cn0 11277  ℕ0*cxnn0 11348  Vtxcvtx 25855   USGraph cusgr 26025   FinUSGraph cfusgr 26189  VtxDegcvtxdg 26342   RegUSGraph crusgr 26433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-xadd 11932  df-fz 12312  df-hash 13101  df-vtx 25857  df-iedg 25858  df-edg 25921  df-uhgr 25934  df-upgr 25958  df-umgr 25959  df-uspgr 26026  df-usgr 26027  df-fusgr 26190  df-vtxdg 26343  df-rgr 26434  df-rusgr 26435 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator