Theorem fv3 3735

Description: Alternate definition of the value of a function. Definition 6.11 of [TakeutiZaring] p. 26.

Hypothesis

Ref	Expression
fv3.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fv3	⊢ (F ‘A) = {x∣(∃y(x ∈ y ⋀ AFy) ⋀ ∃!y AFy)}

Distinct variable groups:   x,y,F   x,A,y

Proof of Theorem fv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fv3.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
2	1	elfv 3724	. . 3 ⊢ (x ∈ (F ‘A) ↔ ∃z(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z)))
3		bi2 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((AFy ↔ y = z) → (y = z → AFy))
4	3	19.20i 990	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀y(AFy ↔ y = z) → ∀y(y = z → AFy))
5		visset 1809	. . . . . . . . . 10 ⊢ z ∈ V
6		breq2 2619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = z → (AFy ↔ AFz))
7	5, 6	ceqsalv 1823	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀y(y = z → AFy) ↔ AFz)
8	4, 7	sylib 198	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y(AFy ↔ y = z) → AFz)
9	8	anim2i 335	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z)) → (x ∈ z ⋀ AFz))
10	9	19.22i 1038	. . . . . 6 ⊢ (∃z(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z)) → ∃z(x ∈ z ⋀ AFz))
11		eleq2 1532	. . . . . . . 8 ⊢ (z = y → (x ∈ z ↔ x ∈ y))
12		breq2 2619	. . . . . . . 8 ⊢ (z = y → (AFz ↔ AFy))
13	11, 12	anbi12d 627	. . . . . . 7 ⊢ (z = y → ((x ∈ z ⋀ AFz) ↔ (x ∈ y ⋀ AFy)))
14	13	cbvexv 1313	. . . . . 6 ⊢ (∃z(x ∈ z ⋀ AFz) ↔ ∃y(x ∈ y ⋀ AFy))
15	10, 14	sylib 198	. . . . 5 ⊢ (∃z(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z)) → ∃y(x ∈ y ⋀ AFy))
16		19.40 1092	. . . . . . 7 ⊢ (∃z(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z)) → (∃z x ∈ z ⋀ ∃z∀y(AFy ↔ y = z)))
17	16	pm3.27d 325	. . . . . 6 ⊢ (∃z(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z)) → ∃z∀y(AFy ↔ y = z))
18		df-eu 1380	. . . . . 6 ⊢ (∃!y AFy ↔ ∃z∀y(AFy ↔ y = z))
19	17, 18	sylibr 200	. . . . 5 ⊢ (∃z(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z)) → ∃!y AFy)
20	15, 19	jca 288	. . . 4 ⊢ (∃z(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z)) → (∃y(x ∈ y ⋀ AFy) ⋀ ∃!y AFy))
21		hbeu1 1386	. . . . . . 7 ⊢ (∃!y AFy → ∀y∃!y AFy)
22		ax-17 969	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ z → ∀y x ∈ z)
23		hba1 1001	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀y(AFy ↔ y = z) → ∀y∀y(AFy ↔ y = z))
24	22, 23	hban 1007	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z)) → ∀y(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z)))
25	24	hbex 1004	. . . . . . 7 ⊢ (∃z(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z)) → ∀y∃z(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z)))
26	21, 25	hbim 1005	. . . . . 6 ⊢ ((∃!y AFy → ∃z(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z))) → ∀y(∃!y AFy → ∃z(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z))))
27		bi1 148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((AFy ↔ y = z) → (AFy → y = z))
28		ax-14 968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = z → (x ∈ y → x ∈ z))
29	27, 28	syl6 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((AFy ↔ y = z) → (AFy → (x ∈ y → x ∈ z)))
30	29	com23 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((AFy ↔ y = z) → (x ∈ y → (AFy → x ∈ z)))
31	30	imp3a 361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((AFy ↔ y = z) → ((x ∈ y ⋀ AFy) → x ∈ z))
32	31	a4s 982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀y(AFy ↔ y = z) → ((x ∈ y ⋀ AFy) → x ∈ z))
33	32	anc2ri 303	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀y(AFy ↔ y = z) → ((x ∈ y ⋀ AFy) → (x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z))))
34	33	com12 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ y ⋀ AFy) → (∀y(AFy ↔ y = z) → (x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z))))
35	34	19.22dv 1288	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ y ⋀ AFy) → (∃z∀y(AFy ↔ y = z) → ∃z(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z))))
36	35, 18	syl5ib 206	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ y ⋀ AFy) → (∃!y AFy → ∃z(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z))))
37	26, 36	19.23ai 1062	. . . . 5 ⊢ (∃y(x ∈ y ⋀ AFy) → (∃!y AFy → ∃z(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z))))
38	37	imp 350	. . . 4 ⊢ ((∃y(x ∈ y ⋀ AFy) ⋀ ∃!y AFy) → ∃z(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z)))
39	20, 38	impbi 157	. . 3 ⊢ (∃z(x ∈ z ⋀ ∀y(AFy ↔ y = z)) ↔ (∃y(x ∈ y ⋀ AFy) ⋀ ∃!y AFy))
40	2, 39	bitr 173	. 2 ⊢ (x ∈ (F ‘A) ↔ (∃y(x ∈ y ⋀ AFy) ⋀ ∃!y AFy))
41	40	abbi2i 1571	1 ⊢ (F ‘A) = {x∣(∃y(x ∈ y ⋀ AFy) ⋀ ∃!y AFy)}

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 952   = wceq 954   ∈ wcel 956  ∃wex 978  ∃!weu 1378  {cab 1461  Vcvv 1807   class class class wbr 2615   ‘cfv 3182

This theorem is referenced by:  tz6.12-1 3738  tz6.12-2 3741

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198

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