Theorem fvco 6754

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6380	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
2		fvco2 6753	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn dom 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))
3	1, 2	sylanb 583	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘(𝐺‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  dom cdm 5550   ∘ ccom 5554  Fun wfun 6344   Fn wfn 6345  ‘cfv 6350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-fv 6358

This theorem is referenced by:  fin23lem30  9758  hashkf  13686  hashgval  13687  gsumpropd2lem  17883  ofco2  21054  opfv  30387  xppreima  30388  psgnfzto1stlem  30737  cycpmfv1  30750  cycpmfv2  30751  cyc3co2  30777  smatlem  31057  mdetpmtr1  31083  madjusmdetlem2  31088  madjusmdetlem4  31090  eulerpartlemgvv  31629  eulerpartlemgu  31630  sseqfv2  31647  reprpmtf1o  31892  hgt750lemg  31920  comptiunov2i  40044  choicefi  41455  fvcod  41484  evthiccabs  41763  cncficcgt0  42163  dvsinax  42189  fvvolioof  42267  fvvolicof  42269  stirlinglem14  42365  fourierdlem42  42427  hoicvr  42823  hoi2toco  42882  ovolval3  42922  ovolval4lem1  42924  ovnovollem1  42931  ovnovollem2  42932