MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvconst2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvconst2g 6508
Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
fvconst2g ((𝐵𝐷𝐶𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g
StepHypRef Expression
1 fconstg 6130 . 2 (𝐵𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2 fvconst 6471 . 2 (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
31, 2sylan 487 1 ((𝐵𝐷𝐶𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {csn 4210   × cxp 5141  wf 5922  cfv 5926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934
This theorem is referenced by:  fconst2g  6509  fvconst2  6510  ofc1  6962  ofc2  6963  caofid0l  6967  caofid0r  6968  caofid1  6969  caofid2  6970  fnsuppres  7367  ser0  12893  ser1const  12897  exp1  12906  expp1  12907  climconst2  14323  climaddc1  14409  climmulc2  14411  climsubc1  14412  climsubc2  14413  climlec2  14433  fsumconst  14566  supcvg  14632  prodf1  14667  prod0  14717  fprodconst  14752  seq1st  15331  algr0  15332  algrf  15333  ramz  15776  pwsbas  16194  pwsplusgval  16197  pwsmulrval  16198  pwsle  16199  pwsvscafval  16201  pwspjmhm  17415  pwsco1mhm  17417  pwsinvg  17575  mulg1  17595  mulgnnp1  17596  mulgnnsubcl  17600  mulgnn0z  17614  mulgnndir  17616  mulgnndirOLD  17617  mulgnn0di  18277  gsumconst  18380  pwslmod  19018  psrlidm  19451  coe1tm  19691  coe1fzgsumd  19720  evl1scad  19747  frlmvscaval  20158  decpmatid  20623  pmatcollpwscmatlem1  20642  lmconst  21113  cnconst2  21135  xkoptsub  21505  xkopt  21506  xkopjcn  21507  tmdgsum  21946  tmdgsum2  21947  symgtgp  21952  cstucnd  22135  pcoptcl  22867  pcopt  22868  pcopt2  22869  dvidlem  23724  dvconst  23725  dvnff  23731  dvn0  23732  dvcmul  23752  dvcmulf  23753  fta1blem  23973  plyeq0lem  24011  coemulc  24056  dgreq0  24066  dgrmulc  24072  qaa  24123  dchrisumlema  25222  ofcc  30296  ofcof  30297  sseqf  30582  sseqp1  30585  cvmlift3lem9  31435  ismrer1  33767  dvsinax  40445  stoweidlem21  40556  stoweidlem47  40582  elaa2  40769  zlmodzxzscm  42460
  Copyright terms: Public domain W3C validator