MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvelima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvelima 6235
Description: Function value in an image. Part of Theorem 4.4(iii) of [Monk1] p. 42. (Contributed by NM, 29-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
fvelima ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ∃𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fvelima
StepHypRef Expression
1 elimag 5458 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) ↔ ∃𝑥𝐵 𝑥𝐹𝐴))
21ibi 256 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝐵 𝑥𝐹𝐴)
3 funbrfv 6221 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝑥𝐹𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝐴))
43reximdv 3013 . . 3 (Fun 𝐹 → (∃𝑥𝐵 𝑥𝐹𝐴 → ∃𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝐴))
52, 4syl5 34 . 2 (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝐴))
65imp 445 1 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ∃𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wrex 2910   class class class wbr 4644  cima 5107  Fun wfun 5870  cfv 5876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fv 5884
This theorem is referenced by:  ssimaex  6250  isofrlem  6575  tz7.49  7525  rankwflemb  8641  tcrank  8732  zorn2lem5  9307  zorn2lem6  9308  uniimadom  9351  wunr1om  9526  tskr1om  9574  tskr1om2  9575  grur1  9627  iscldtop  20880  kqfvima  21514  fmfnfmlem4  21742  fmfnfm  21743  qustgpopn  21904  c1liplem1  23740  plypf1  23949  ltgseg  25472  axcontlem9  25833  uhgrspan1  26176  pthdlem2lem  26644  htthlem  27744  xrofsup  29507  fimaproj  29874  txomap  29875  qtophaus  29877  erdszelem7  31153  erdszelem8  31154  mrsub0  31387  mrsubccat  31389  mrsubcn  31390  msubrn  31400  mthmblem  31451  ivthALT  32305  ftc2nc  33465  heibor1lem  33579  ismrc  37083  funimassd  39247  icccncfext  39863  dirkercncflem2  40084  smfpimbor1lem1  40768
  Copyright terms: Public domain W3C validator