MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvelima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvelima 6139
Description: Function value in an image. Part of Theorem 4.4(iii) of [Monk1] p. 42. (Contributed by NM, 29-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
fvelima ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ∃𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fvelima
StepHypRef Expression
1 elimag 5372 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) ↔ ∃𝑥𝐵 𝑥𝐹𝐴))
21ibi 254 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝐵 𝑥𝐹𝐴)
3 funbrfv 6125 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝑥𝐹𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝐴))
43reximdv 2994 . . 3 (Fun 𝐹 → (∃𝑥𝐵 𝑥𝐹𝐴 → ∃𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝐴))
52, 4syl5 33 . 2 (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝐴))
65imp 443 1 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ∃𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wrex 2892   class class class wbr 4573  cima 5027  Fun wfun 5780  cfv 5786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pr 4824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fv 5794
This theorem is referenced by:  ssimaex  6154  isofrlem  6464  tz7.49  7400  rankwflemb  8512  tcrank  8603  zorn2lem5  9178  zorn2lem6  9179  uniimadom  9218  wunr1om  9393  tskr1om  9441  tskr1om2  9442  grur1  9494  iscldtop  20647  kqfvima  21281  fmfnfmlem4  21509  fmfnfm  21510  qustgpopn  21671  c1liplem1  23476  plypf1  23685  ltgseg  25205  axcontlem9  25566  htthlem  26960  xrofsup  28725  fimaproj  29030  txomap  29031  qtophaus  29033  erdszelem7  30235  erdszelem8  30236  mrsub0  30469  mrsubccat  30471  mrsubcn  30472  msubrn  30482  mthmblem  30533  ivthALT  31302  ftc2nc  32463  heibor1lem  32577  ismrc  36081  icccncfext  38573  dirkercncflem2  38797  smfpimbor1lem1  39483  uhgrspan1  40525  pthdlem2lem  40971
  Copyright terms: Public domain W3C validator