MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvelima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvelima 6724
Description: Function value in an image. Part of Theorem 4.4(iii) of [Monk1] p. 42. (Contributed by NM, 29-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
fvelima ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ∃𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fvelima
StepHypRef Expression
1 funbrfv 6709 . . 3 (Fun 𝐹 → (𝑥𝐹𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝐴))
21reximdv 3270 . 2 (Fun 𝐹 → (∃𝑥𝐵 𝑥𝐹𝐴 → ∃𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝐴))
3 elimag 5926 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) ↔ ∃𝑥𝐵 𝑥𝐹𝐴))
43ibi 268 . 2 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝐵 𝑥𝐹𝐴)
52, 4impel 506 1 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ∃𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136   class class class wbr 5057  cima 5551  Fun wfun 6342  cfv 6348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356
This theorem is referenced by:  ssimaex  6741  isofrlem  7082  fimaproj  7818  tz7.49  8070  rankwflemb  9210  tcrank  9301  zorn2lem5  9910  zorn2lem6  9911  uniimadom  9954  wunr1om  10129  tskr1om  10177  tskr1om2  10178  grur1  10230  iscldtop  21631  kqfvima  22266  fmfnfmlem4  22493  fmfnfm  22494  qustgpopn  22655  cphsscph  23781  c1liplem1  24520  plypf1  24729  ltgseg  26309  axcontlem9  26685  uhgrspan1  27012  pthdlem2lem  27475  htthlem  28621  xrofsup  30418  tocyccntz  30713  dimval  30900  dimvalfi  30901  txomap  30997  qtophaus  30999  erdszelem7  32341  erdszelem8  32342  mrsub0  32660  mrsubccat  32662  mrsubcn  32663  msubrn  32673  mthmblem  32724  ivthALT  33580  ftc2nc  34857  heibor1lem  34968  ismrc  39176  funimassd  41373  icccncfext  42046  dirkercncflem2  42266  smfpimbor1lem1  42950
  Copyright terms: Public domain W3C validator