Theorem fveqres 3740

Description: Equal values imply equal values in a restriction.

Assertion

Ref	Expression
fveqres	⊢ ((F ‘A) = (G ‘A) → ((F ↾ B) ‘A) = ((G ↾ B) ‘A))

Proof of Theorem fveqres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 3725	. . . 4 ⊢ (A ∈ B → ((F ↾ B) ‘A) = (F ‘A))
2		fvres 3725	. . . 4 ⊢ (A ∈ B → ((G ↾ B) ‘A) = (G ‘A))
3	1, 2	eqeq12d 1486	. . 3 ⊢ (A ∈ B → (((F ↾ B) ‘A) = ((G ↾ B) ‘A) ↔ (F ‘A) = (G ‘A)))
4	3	biimprd 154	. 2 ⊢ (A ∈ B → ((F ‘A) = (G ‘A) → ((F ↾ B) ‘A) = ((G ↾ B) ‘A)))
5		nfvres 3739	. . . 4 ⊢ (¬ A ∈ B → ((F ↾ B) ‘A) = ∅)
6		nfvres 3739	. . . 4 ⊢ (¬ A ∈ B → ((G ↾ B) ‘A) = ∅)
7	5, 6	eqtr4d 1507	. . 3 ⊢ (¬ A ∈ B → ((F ↾ B) ‘A) = ((G ↾ B) ‘A))
8	7	a1d 12	. 2 ⊢ (¬ A ∈ B → ((F ‘A) = (G ‘A) → ((F ↾ B) ‘A) = ((G ↾ B) ‘A)))
9	4, 8	pm2.61i 126	1 ⊢ ((F ‘A) = (G ‘A) → ((F ↾ B) ‘A) = ((G ↾ B) ‘A))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   = wceq 954   ∈ wcel 956  ∅c0 2276   ↾ cres 3167   ‘cfv 3177

This theorem is referenced by:  fvresex 3848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain