MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvffz0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvffz0 12277
Description: The function value of a function from a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 13-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
fvffz0 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ 𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉) → (𝑃𝐼) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem fvffz0
StepHypRef Expression
1 simpr 475 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ 𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉) → 𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉)
2 simp2 1054 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ0)
3 simp1 1053 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 nn0re 11144 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
5 nn0re 11144 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
6 ltle 9973 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐼 < 𝑁𝐼𝑁))
74, 5, 6syl2anr 493 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 < 𝑁𝐼𝑁))
873impia 1252 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 𝐼𝑁)
9 elfz2nn0 12251 . . . 4 (𝐼 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐼𝑁))
102, 3, 8, 9syl3anbrc 1238 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ (0...𝑁))
1110adantr 479 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ 𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉) → 𝐼 ∈ (0...𝑁))
121, 11ffvelrnd 6249 1 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ 𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉) → (𝑃𝐼) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030  wcel 1975   class class class wbr 4573  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  cr 9787  0cc0 9788   < clt 9926  cle 9927  0cn0 11135  ...cfz 12148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149
This theorem is referenced by:  upgr3v3e3cycl  41345  upgr4cycl4dv4e  41350
  Copyright terms: Public domain W3C validator