MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvmptnn04ifb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmptnn04ifb 21387
Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the second case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmptnn04if.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
fvmptnn04ifb ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐵)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifb
StepHypRef Expression
1 fvmptnn04if.g . 2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2 fvmptnn04if.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
323ad2ant1 1125 . 2 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4 fvmptnn04if.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
543ad2ant1 1125 . 2 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 simp3 1130 . 2 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉)
7 nn0re 11894 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
8 nn0ge0 11910 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
97, 8jca 512 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
10 ne0gt0 10733 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 0 ↔ 0 < 𝑁))
114, 9, 103syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 ↔ 0 < 𝑁))
1211biimprcd 251 . . . . . . 7 (0 < 𝑁 → (𝜑𝑁 ≠ 0))
1312adantr 481 . . . . . 6 ((0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → (𝜑𝑁 ≠ 0))
1413impcom 408 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆)) → 𝑁 ≠ 0)
15143adant3 1124 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → 𝑁 ≠ 0)
16 neneq 3019 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 → ¬ 𝑁 = 0)
1716pm2.21d 121 . . . 4 (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 = 0 → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐴))
1815, 17syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝑁 = 0 → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐴))
1918imp 407 . 2 (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐴)
20 eqidd 2819 . 2 (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) ∧ 0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐵)
214, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 < 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
23 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 < 𝑆) → 𝑁 < 𝑆)
2422, 23ltned 10764 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 < 𝑆) → 𝑁𝑆)
2524neneqd 3018 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 < 𝑆) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
2625adantrl 712 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆)) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
27263adant3 1124 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
2827pm2.21d 121 . . 3 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝑁 = 𝑆𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐶))
2928imp 407 . 2 (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐶)
302nnred 11641 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
31 ltnsym 10726 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑆 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
3221, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 < 𝑆 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
3332com12 32 . . . . . . 7 (𝑁 < 𝑆 → (𝜑 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
3433adantl 482 . . . . . 6 ((0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → (𝜑 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
3534impcom 408 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆)) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
36353adant3 1124 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
3736pm2.21d 121 . . 3 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐷))
3837imp 407 . 2 (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐷)
391, 3, 5, 6, 19, 20, 29, 38fvmptnn04if 21385 1 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  csb 3880  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  cr 10524  0cc0 10525   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  0cn0 11885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator