Theorem fvopab 3796

Description: The value of a function given by an ordered-pair class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fvopab.1	⊢ A ∈ V
fvopab.2	⊢ C ∈ V
fvopab.3	⊢ (x = A → B = C)

Assertion

Ref	Expression
fvopab	⊢ ({⟨x, y⟩∣y = B} ‘A) = C

Distinct variable groups:   x,A   y,B   x,C   x,y

Proof of Theorem fvopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 973	. 2 ⊢ (z ∈ A → ∀x z ∈ A)
2		ax-17 973	. 2 ⊢ (z ∈ C → ∀x z ∈ C)
3		fvopab.1	. 2 ⊢ A ∈ V
4		fvopab.2	. 2 ⊢ C ∈ V
5		fvopab.3	. 2 ⊢ (x = A → B = C)
6	1, 2, 3, 4, 5	fvopabf 3795	1 ⊢ ({⟨x, y⟩∣y = B} ‘A) = C

Syntax hints:   → wi 3   = wceq 958   ∈ wcel 960  Vcvv 1814  {copab 2671   ‘cfv 3188

This theorem is referenced by:  fvresex 3863  oasuc 4169  omsuc 4171  oesuc 4172  inf3lema 4618  rankval 4678  numthlem 4793  zorn2lem1 4798  seq1rval 6312  symgval 10398

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain