Theorem fvprmselgcd1 16384

Description: The greatest common divisor of two values of the prime selection function for different arguments is 1. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvprmselelfz.f	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))

Assertion

Ref	Expression
fvprmselgcd1	⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑋   𝑚,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem fvprmselgcd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprmselelfz.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))
2		eleq1 2903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑋 ∈ ℙ))
3		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → 𝑚 = 𝑋)
4	2, 3	ifbieq1d 4493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1))
5		iftrue 4476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
6	5	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
7	4, 6	sylan9eqr 2881	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑋)
8		elfznn 12939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑁) → 𝑋 ∈ ℕ)
9	8	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
11	1, 7, 10, 10	fvmptd2 6779	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
12		eleq1 2903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑌 ∈ ℙ))
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → 𝑚 = 𝑌)
14	12, 13	ifbieq1d 4493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1))
15		iftrue 4476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℙ → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 𝑌)
16	15	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 𝑌)
17	14, 16	sylan9eqr 2881	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑌)
18		elfznn 12939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (1...𝑁) → 𝑌 ∈ ℕ)
19	18	3ad2ant2 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℕ)
20	19	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
21	1, 17, 20, 20	fvmptd2 6779	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 𝑌)
22	11, 21	oveq12d 7177	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (𝑋 gcd 𝑌))
23		prmrp 16059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 gcd 𝑌) = 1 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
24	23	biimprcd 252	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → (𝑋 gcd 𝑌) = 1))
25	24	3ad2ant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → (𝑋 gcd 𝑌) = 1))
26	25	impcom 410	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 gcd 𝑌) = 1)
27	22, 26	eqtrd 2859	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
28	27	ex 415	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
29	5	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
30	4, 29	sylan9eqr 2881	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑋)
31	9	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
32	1, 30, 31, 31	fvmptd2 6779	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
33		iffalse 4479	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ ℙ → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 1)
34	33	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 1)
35	14, 34	sylan9eqr 2881	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
36	19	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
37		1nn 11652	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 1 ∈ ℕ)
39	1, 35, 36, 38	fvmptd2 6779	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 1)
40	32, 39	oveq12d 7177	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (𝑋 gcd 1))
41		prmz 16022	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → 𝑋 ∈ ℤ)
42		gcd1 15879	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋 gcd 1) = 1)
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → (𝑋 gcd 1) = 1)
44	43	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 gcd 1) = 1)
45	40, 44	eqtrd 2859	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
46	45	ex 415	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
47		iffalse 4479	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
48	47	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
49	4, 48	sylan9eqr 2881	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
50	9	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
51	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 1 ∈ ℕ)
52	1, 49, 50, 51	fvmptd2 6779	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 1)
53	15	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 𝑌)
54	14, 53	sylan9eqr 2881	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑌)
55	19	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
56	1, 54, 55, 55	fvmptd2 6779	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 𝑌)
57	52, 56	oveq12d 7177	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (1 gcd 𝑌))
58		prmz 16022	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ ℤ)
59		1gcd 15884	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑌) = 1)
60	58, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℙ → (1 gcd 𝑌) = 1)
61	60	ad2antlr 725	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (1 gcd 𝑌) = 1)
62	57, 61	eqtrd 2859	. . 3 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
63	62	ex 415	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
64	47	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
65	4, 64	sylan9eqr 2881	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
66	9	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ ℕ)
67	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 1 ∈ ℕ)
68	1, 65, 66, 67	fvmptd2 6779	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = 1)
69	33	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑌 ∈ ℙ, 𝑌, 1) = 1)
70	14, 69	sylan9eqr 2881	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑚 = 𝑌) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
71	19	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℕ)
72	1, 70, 71, 67	fvmptd2 6779	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) = 1)
73	68, 72	oveq12d 7177	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = (1 gcd 1))
74		1z 12015	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
75		1gcd 15884	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = 1)
76	74, 75	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (1 gcd 1) = 1)
77	73, 76	eqtrd 2859	. . 3 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) ∧ (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)
78	77	ex 415	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑌 ∈ ℙ) → ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1))
79	28, 46, 63, 78	4cases 1035	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) gcd (𝐹‘𝑌)) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ifcif 4470   ↦ cmpt 5149  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  1c1 10541  ℕcn 11641  ℤcz 11984  ...cfz 12895   gcd cgcd 15846  ℙcprime 16018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-dvds 15611  df-gcd 15847  df-prm 16019

This theorem is referenced by:  prmodvdslcmf  16386