Theorem fvsng 6937

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by BJ, 25-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem fvsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 6400	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2		opex 5349	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
3	2	snid 4595	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
4		funopfv 6712	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
5	1, 3, 4	mpisyl 21	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {csn 4561  ⟨cop 4567  Fun wfun 6344  ‘cfv 6350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fv 6358

This theorem is referenced by:  fvsn  6938  fvsnun1  6939  fsnunfv  6944  fvpr1g  6949  fvpr2g  6950  fsnex  7033  suppsnop  7838  mapsnend  8582  enfixsn  8620  axdc3lem4  9869  fseq1p1m1  12975  1fv  13020  s1fv  13958  sumsnf  15093  prodsn  15310  prodsnf  15312  seq1st  15909  vdwlem8  16318  setsid  16532  mgm1  17862  sgrp1  17904  mnd1  17946  mnd1id  17947  gsumws1  17996  grp1  18200  dprdsn  19152  ring1  19346  ixpsnbasval  19976  frgpcyg  20714  mat1dimscm  21078  mat1dimmul  21079  mat1rhmelval  21083  m1detdiag  21200  pt1hmeo  22408  1loopgrvd0  27280  1hevtxdg0  27281  1hevtxdg1  27282  1egrvtxdg1  27285  wlkl0  28140  actfunsnrndisj  31871  reprsuc  31881  breprexplema  31896  cvmliftlem7  32533  cvmliftlem13  32538  noextenddif  33170  noextendlt  33171  noextendgt  33172  bj-fununsn2  34530  frlmsnic  39142  sumsnd  41276  ovnovollem1  42931  nnsum3primesprm  43948  lincvalsng  44464  snlindsntorlem  44518  lmod1lem2  44536  lmod1lem3  44537