Theorem fvunsn 6935

Description: Remove an ordered pair not participating in a function value. (Contributed by NM, 1-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvunsn	⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))

Proof of Theorem fvunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resundir 5862	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}))
2		nelsn 4598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐷})
3		ressnop0 6909	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ {𝐷} → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷}) = ∅)
5	4	uneq2d 4138	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅))
6		un0 4343	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ∅) = (𝐴 ↾ {𝐷})
7	5, 6	syl6eq 2872	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ↾ {𝐷}) ∪ ({⟨𝐵, 𝐶⟩} ↾ {𝐷})) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
8	1, 7	syl5eq 2868	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷}) = (𝐴 ↾ {𝐷}))
9	8	fveq1d 6666	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷))
10		fvressn 6918	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
11		fvprc 6657	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ∅)
12		fvprc 6657	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = ∅)
13	11, 12	eqtr4d 2859	. . 3 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷))
14	10, 13	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}) ↾ {𝐷})‘𝐷) = ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷)
15		fvressn 6918	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
16		fvprc 6657	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = ∅)
17		fvprc 6657	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → (𝐴‘𝐷) = ∅)
18	16, 17	eqtr4d 2859	. . 3 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ V → ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))
19	15, 18	pm2.61i 184	. 2 ⊢ ((𝐴 ↾ {𝐷})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷)
20	9, 14, 19	3eqtr3g 2879	1 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})‘𝐷) = (𝐴‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   ∪ cun 3933  ∅c0 4290  {csn 4560  ⟨cop 4566   ↾ cres 5551  ‘cfv 6349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-xp 5555  df-res 5561  df-iota 6308  df-fv 6357

This theorem is referenced by:  fvpr1  6946  fvpr1g  6948  fvpr2g  6949  fvtp1  6951  fvtp1g  6954  ac6sfi  8756  cats1un  14077  ruclem6  15582  ruclem7  15583  wlkp1lem5  27453  wlkp1lem6  27454  fnchoice  41279  nnsum4primeseven  43959  nnsum4primesevenALTV  43960