Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fwddifnp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fwddifnp1 32574
Description: The value of the n-iterated forward difference at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fwddifnp1.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fwddifnp1.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
fwddifnp1.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
fwddifnp1.4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
fwddifnp1.5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
fwddifnp1 (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = (((𝑁n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁n 𝐹)‘𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑋   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem fwddifnp1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fwddifnp1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 elfzelz 12531 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3 bcpasc 13298 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
41, 2, 3syl2an 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
54oveq1d 6824 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
6 bccl 13299 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
71, 2, 6syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
87nn0cnd 11541 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
9 peano2zm 11608 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
102, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
11 bccl 13299 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
121, 10, 11syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 11541 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
148, 13addcomd 10426 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)))
1514oveq1d 6824 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
16 peano2nn0 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1817nn0zd 11668 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
19 zsubcl 11607 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
2018, 2, 19syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
21 m1expcl 13073 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℤ)
2322zcnd 11671 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
24 fwddifnp1.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
2524adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
26 fwddifnp1.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
2725, 26ffvelrnd 6519 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) ∈ ℂ)
2823, 27mulcld 10248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
2913, 8, 28adddird 10253 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) + (𝑁C𝑘)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
3015, 29eqtrd 2790 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
311adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 11541 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
332adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
3433zcnd 11671 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
35 1cnd 10244 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
3632, 34, 35subsub3d 10610 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
3736eqcomd 2762 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
3837oveq2d 6825 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
3938oveq1d 6824 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
4039oveq2d 6825 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
4132, 35, 34addsubd 10601 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁𝑘) + 1))
4241oveq2d 6825 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (-1↑((𝑁𝑘) + 1)))
43 neg1cn 11312 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → -1 ∈ ℂ)
45 neg1ne0 11314 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ≠ 0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → -1 ≠ 0)
471nn0zd 11668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
48 zsubcl 11607 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
4947, 2, 48syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
5044, 46, 49expp1zd 13207 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁𝑘) + 1)) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · -1))
5142, 50eqtrd 2790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · -1))
52 m1expcl 13073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁𝑘) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁𝑘)) ∈ ℤ)
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁𝑘)) ∈ ℤ)
5453zcnd 11671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
5554, 44mulcomd 10249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁𝑘)) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑁𝑘))))
5654mulm1d 10670 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1 · (-1↑(𝑁𝑘))) = -(-1↑(𝑁𝑘)))
5751, 55, 563eqtrd 2794 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = -(-1↑(𝑁𝑘)))
5857oveq1d 6824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = (-(-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
5954, 27mulneg1d 10671 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-(-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = -((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
6058, 59eqtrd 2790 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = -((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
6160oveq2d 6825 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C𝑘) · -((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
6254, 27mulcld 10248 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
638, 62mulneg2d 10672 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · -((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
6461, 63eqtrd 2790 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
6540, 64oveq12d 6827 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
66 zsubcl 11607 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
6747, 10, 66syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
68 m1expcl 13073 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − (𝑘 − 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
7069zcnd 11671 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
7170, 27mulcld 10248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) ∈ ℂ)
7213, 71mulcld 10248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
738, 62mulcld 10248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
7472, 73negsubd 10586 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + -((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
7530, 65, 743eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
765, 75eqtr3d 2792 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
7776sumeq2dv 14628 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
78 fzfid 12962 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
7978, 72, 73fsumsub 14715 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
80 nn0uz 11911 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
8117, 80syl6eleq 2845 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0))
82 oveq1 6816 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
8382oveq2d 6825 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑁C(𝑘 − 1)) = (𝑁C(0 − 1)))
8482oveq2d 6825 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = (𝑁 − (0 − 1)))
8584oveq2d 6825 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) = (-1↑(𝑁 − (0 − 1))))
86 oveq2 6817 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
8786fveq2d 6352 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + 0)))
8885, 87oveq12d 6827 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0))))
8983, 88oveq12d 6827 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
9081, 72, 89fsum1p 14677 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
91 df-neg 10457 . . . . . . . . . . 11 -1 = (0 − 1)
9291oveq2i 6820 . . . . . . . . . 10 (𝑁C-1) = (𝑁C(0 − 1))
93 bcneg1 31925 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)
941, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁C-1) = 0)
9592, 94syl5eqr 2804 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
9695oveq1d 6824 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (0 · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
97 0z 11576 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
98 1z 11595 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
99 zsubcl 11607 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
10097, 98, 99mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 − 1) ∈ ℤ
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 − 1) ∈ ℤ)
10247, 101zsubcld 11675 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 − (0 − 1)) ∈ ℤ)
103 m1expcl 13073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − (0 − 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℤ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℤ)
105104zcnd 11671 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (0 − 1))) ∈ ℂ)
106 eluzfz1 12537 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
10781, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
10826ralrimiva 3100 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
10986eleq1d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + 0) ∈ 𝐴))
110109rspcva 3443 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴) → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
111107, 108, 110syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
11224, 111ffvelrnd 6519 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + 0)) ∈ ℂ)
113105, 112mulcld 10248 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0))) ∈ ℂ)
114113mul02d 10422 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = 0)
11596, 114eqtrd 2790 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = 0)
116115oveq1d 6824 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁C(0 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (0 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
117 fzfid 12962 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
118 olc 398 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
119 elfzp12 12608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
12081, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
121120biimpar 503 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
122118, 121sylan2 492 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
123122, 72syldan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
124117, 123fsumcl 14659 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
125124addid2d 10425 . . . . . 6 (𝜑 → (0 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
12690, 116, 1253eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
127 fwddifnp1.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
128127adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
129 1cnd 10244 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
130 elfzelz 12531 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
131130zcnd 11671 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
132131adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
133128, 129, 132ppncand 10620 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)) = (𝑋 + 𝑘))
134133fveq2d 6352 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))
135134oveq2d 6825 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))
136135oveq2d 6825 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
137136sumeq2dv 14628 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
138 oveq2 6817 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C𝑗) = (𝑁C𝑘))
139 oveq2 6817 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁𝑗) = (𝑁𝑘))
140139oveq2d 6825 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (-1↑(𝑁𝑗)) = (-1↑(𝑁𝑘)))
141 oveq2 6817 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = ((𝑋 + 1) + 𝑘))
142141fveq2d 6352 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) = (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))
143140, 142oveq12d 6827 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘))))
144138, 143oveq12d 6827 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
145144cbvsumv 14621 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘))))
146 1zzd 11596 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
147 0zd 11577 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
148 elfzelz 12531 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
149 bccl 13299 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑗) ∈ ℕ0)
150149nn0cnd 11541 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑗) ∈ ℂ)
1511, 148, 150syl2an 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑗) ∈ ℂ)
152 zsubcl 11607 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑁𝑗) ∈ ℤ)
15347, 148, 152syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑗) ∈ ℤ)
154 m1expcl 13073 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑗) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁𝑗)) ∈ ℤ)
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑(𝑁𝑗)) ∈ ℤ)
156155zcnd 11671 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑(𝑁𝑗)) ∈ ℂ)
15724adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
158127adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
159 1cnd 10244 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
160148zcnd 11671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
161160adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℂ)
162158, 159, 161addassd 10250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = (𝑋 + (1 + 𝑗)))
163159, 161addcomd 10426 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (1 + 𝑗) = (𝑗 + 1))
164163oveq2d 6825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (1 + 𝑗)) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
165162, 164eqtrd 2790 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
166 fzp1elp1 12583 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
167 oveq2 6817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + (𝑗 + 1)))
168167eleq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
169168rspccv 3442 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
170108, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴))
171170imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴)
172166, 171sylan2 492 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴)
173165, 172eqeltrd 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) ∈ 𝐴)
174157, 173ffvelrnd 6519 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) ∈ ℂ)
175156, 174mulcld 10248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) ∈ ℂ)
176151, 175mulcld 10248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) ∈ ℂ)
177 oveq2 6817 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁C𝑗) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
178 oveq2 6817 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁𝑗) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
179178oveq2d 6825 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (-1↑(𝑁𝑗)) = (-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
180 oveq2 6817 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑋 + 1) + 𝑗) = ((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))
181180fveq2d 6352 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)) = (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))
182179, 181oveq12d 6827 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1)))))
183177, 182oveq12d 6827 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))))
184146, 147, 47, 176, 183fsumshft 14707 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((-1↑(𝑁𝑗)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑗)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))))
185145, 184syl5reqr 2805 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + (𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
186126, 137, 1853eqtr2d 2796 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
1871, 80syl6eleq 2845 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
188 oveq2 6817 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
189 oveq2 6817 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁𝑘) = (𝑁 − (𝑁 + 1)))
190189oveq2d 6825 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (-1↑(𝑁𝑘)) = (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))))
191 oveq2 6817 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + (𝑁 + 1)))
192191fveq2d 6352 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))
193190, 192oveq12d 6827 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))
194188, 193oveq12d 6827 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))))
195187, 73, 194fsump1 14682 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))))
196 bcval 13281 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0))
1971, 18, 196syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0))
198 fzp1nel 12613 . . . . . . . . . 10 ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)
199198iffalsei 4236 . . . . . . . . 9 if((𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))), 0) = 0
200197, 199syl6eq 2806 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
201200oveq1d 6824 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = (0 · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))))
20247, 18zsubcld 11675 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
203 m1expcl 13073 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℤ)
204203zcnd 11671 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 − (𝑁 + 1)) ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
205202, 204syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
206 eluzfz2 12538 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
20781, 206syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
208191eleq1d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴))
209208rspcv 3441 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴 → (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴))
210207, 108, 209sylc 65 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 + 1)) ∈ 𝐴)
21124, 210ffvelrnd 6519 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
212205, 211mulcld 10248 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
213212mul02d 10422 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = 0)
214201, 213eqtrd 2790 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1))))) = 0)
215214oveq2d 6825 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑁 + 1))) · (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 + 1)))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + 0))
216 fzfid 12962 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
217 fzelp1 12582 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
218217, 73sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
219216, 218fsumcl 14659 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) ∈ ℂ)
220219addid1d 10424 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
221195, 215, 2203eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
222186, 221oveq12d 6827 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((-1↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
22377, 79, 2223eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
224 fwddifnp1.2 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
22517, 224, 24, 127, 26fwddifnval 32572 . 2 (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((-1↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
226 peano2cn 10396 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
227127, 226syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 1) ∈ ℂ)
228127adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
229 1cnd 10244 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
230 elfzelz 12531 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
231230zcnd 11671 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
232231adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
233228, 229, 232addassd 10250 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) = (𝑋 + (1 + 𝑘)))
234229, 232addcomd 10426 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
235234oveq2d 6825 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (1 + 𝑘)) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
236233, 235eqtrd 2790 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
237 fzp1elp1 12583 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
238 oveq1 6816 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
239238eleq1d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))))
240239anbi2d 742 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))))
241238oveq2d 6825 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 + (𝑗 + 1)) = (𝑋 + (𝑘 + 1)))
242241eleq1d 2820 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴))
243240, 242imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑗 + 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)))
244243, 171chvarv 2404 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
245237, 244sylan2 492 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 + 1)) ∈ 𝐴)
246236, 245eqeltrd 2835 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋 + 1) + 𝑘) ∈ 𝐴)
2471, 224, 24, 227, 246fwddifnval 32572 . . 3 (𝜑 → ((𝑁n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))))
248217, 26sylan2 492 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
2491, 224, 24, 127, 248fwddifnval 32572 . . 3 (𝜑 → ((𝑁n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
250247, 249oveq12d 6827 . 2 (𝜑 → (((𝑁n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁n 𝐹)‘𝑋)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘((𝑋 + 1) + 𝑘)))) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-1↑(𝑁𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))))))
251223, 225, 2503eqtr4d 2800 1 (𝜑 → (((𝑁 + 1) △n 𝐹)‘𝑋) = (((𝑁n 𝐹)‘(𝑋 + 1)) − ((𝑁n 𝐹)‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  wral 3046  wss 3711  ifcif 4226  wf 6041  cfv 6045  (class class class)co 6809  cc 10122  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127   · cmul 10129  cmin 10454  -cneg 10455   / cdiv 10872  0cn0 11480  cz 11565  cuz 11875  ...cfz 12515  cexp 13050  !cfa 13250  Ccbc 13279  Σcsu 14611  n cfwddifn 32569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-pm 8022  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-sup 8509  df-oi 8576  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-rp 12022  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-seq 12992  df-exp 13051  df-fac 13251  df-bc 13280  df-hash 13308  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-clim 14414  df-sum 14612  df-fwddifn 32570
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator