Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fz0addge0 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum of two integers in 0 based finite sets of sequential integers is greater than or equal to zero. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0addge0 ((𝐴 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem fz0addge0
StepHypRef Expression
1 elfznn0 12382 . . 3 (𝐴 ∈ (0...𝑀) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2 elfznn0 12382 . . 3 (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ∈ ℕ0)
31, 2anim12i 589 . 2 ((𝐴 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0))
4 nn0re 11253 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
5 nn0re 11253 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
64, 5anim12i 589 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
7 nn0ge0 11270 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
8 nn0ge0 11270 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
97, 8anim12i 589 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
106, 9jca 554 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
11 addge0 10469 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
123, 10, 113syl 18 1 ((𝐴 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  ℝcr 9887  0cc0 9888   + caddc 9891   ≤ cle 10027  ℕ0cn0 11244  ...cfz 12276 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator