MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0to3un2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz0to3un2pr 12480
Description: An integer range from 0 to 3 is the union of two unordered pairs. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
fz0to3un2pr (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fz0to3un2pr
StepHypRef Expression
1 1nn0 11346 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 3nn0 11348 . . . 4 3 ∈ ℕ0
3 1le3 11282 . . . 4 1 ≤ 3
4 elfz2nn0 12469 . . . 4 (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
51, 2, 3, 4mpbir3an 1263 . . 3 1 ∈ (0...3)
6 fzsplit 12405 . . 3 (1 ∈ (0...3) → (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)))
75, 6ax-mp 5 . 2 (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3))
8 1e0p1 11590 . . . . 5 1 = (0 + 1)
98oveq2i 6701 . . . 4 (0...1) = (0...(0 + 1))
10 0z 11426 . . . . 5 0 ∈ ℤ
11 fzpr 12434 . . . . 5 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
13 0p1e1 11170 . . . . 5 (0 + 1) = 1
1413preq2i 4304 . . . 4 {0, (0 + 1)} = {0, 1}
159, 12, 143eqtri 2677 . . 3 (0...1) = {0, 1}
16 1p1e2 11172 . . . . 5 (1 + 1) = 2
17 df-3 11118 . . . . 5 3 = (2 + 1)
1816, 17oveq12i 6702 . . . 4 ((1 + 1)...3) = (2...(2 + 1))
19 2z 11447 . . . . 5 2 ∈ ℤ
20 fzpr 12434 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
2119, 20ax-mp 5 . . . 4 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22 2p1e3 11189 . . . . 5 (2 + 1) = 3
2322preq2i 4304 . . . 4 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
2418, 21, 233eqtri 2677 . . 3 ((1 + 1)...3) = {2, 3}
2515, 24uneq12i 3798 . 2 ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
267, 25eqtri 2673 1 (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  cun 3605  {cpr 4212   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cle 10113  2c2 11108  3c3 11109  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365
This theorem is referenced by:  3wlkdlem4  27140
  Copyright terms: Public domain W3C validator