Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0to4untppr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz0to4untppr 12481
 Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
fz0to4untppr (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr
StepHypRef Expression
1 df-3 11118 . . . . 5 3 = (2 + 1)
2 2cn 11129 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
32addid2i 10262 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
43eqcomi 2660 . . . . . 6 2 = (0 + 2)
54oveq1i 6700 . . . . 5 (2 + 1) = ((0 + 2) + 1)
61, 5eqtri 2673 . . . 4 3 = ((0 + 2) + 1)
7 3z 11448 . . . . 5 3 ∈ ℤ
8 0re 10078 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
9 3re 11132 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
10 3pos 11152 . . . . . 6 0 < 3
118, 9, 10ltleii 10198 . . . . 5 0 ≤ 3
12 0z 11426 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
1312eluz1i 11733 . . . . 5 (3 ∈ (ℤ‘0) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
147, 11, 13mpbir2an 975 . . . 4 3 ∈ (ℤ‘0)
156, 14eqeltrri 2727 . . 3 ((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ‘0)
16 4z 11449 . . . . 5 4 ∈ ℤ
17 2re 11128 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
18 4re 11135 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
19 2lt4 11236 . . . . . 6 2 < 4
2017, 18, 19ltleii 10198 . . . . 5 2 ≤ 4
21 2z 11447 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
2221eluz1i 11733 . . . . 5 (4 ∈ (ℤ‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
2316, 20, 22mpbir2an 975 . . . 4 4 ∈ (ℤ‘2)
244fveq2i 6232 . . . 4 (ℤ‘2) = (ℤ‘(0 + 2))
2523, 24eleqtri 2728 . . 3 4 ∈ (ℤ‘(0 + 2))
26 fzsplit2 12404 . . 3 ((((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ‘(0 + 2))) → (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)))
2715, 25, 26mp2an 708 . 2 (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4))
28 fztp 12435 . . . . 5 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
2912, 28ax-mp 5 . . . 4 (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
30 ax-1cn 10032 . . . . 5 1 ∈ ℂ
31 eqidd 2652 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → 0 = 0)
32 addid2 10257 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → (0 + 1) = 1)
333a1i 11 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → (0 + 2) = 2)
3431, 32, 33tpeq123d 4315 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
3530, 34ax-mp 5 . . . 4 {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2}
3629, 35eqtri 2673 . . 3 (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
373a1i 11 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
3837oveq1d 6705 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = (2 + 1))
3938, 1syl6eqr 2703 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = 3)
4039oveq1d 6705 . . . . 5 (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = (3...4))
41 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 3 = 3
42 df-4 11119 . . . . . . . . . 10 4 = (3 + 1)
4341, 42pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℤ → (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
45 3lt4 11235 . . . . . . . . . . 11 3 < 4
469, 18, 45ltleii 10198 . . . . . . . . . 10 3 ≤ 4
477eluz1i 11733 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
4816, 46, 47mpbir2an 975 . . . . . . . . 9 4 ∈ (ℤ‘3)
49 fzopth 12416 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) → ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
5144, 50sylibr 224 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → (3...4) = (3...(3 + 1)))
52 fzpr 12434 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
5351, 52eqtrd 2685 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, (3 + 1)})
5442eqcomi 2660 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
5554preq2i 4304 . . . . . 6 {3, (3 + 1)} = {3, 4}
5653, 55syl6eq 2701 . . . . 5 (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, 4})
5740, 56eqtrd 2685 . . . 4 (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4})
587, 57ax-mp 5 . . 3 (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4}
5936, 58uneq12i 3798 . 2 ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
6027, 59eqtri 2673 1 (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∪ cun 3605  {cpr 4212  {ctp 4214   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   ≤ cle 10113  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ...cfz 12364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365 This theorem is referenced by:  prm23lt5  15566  usgrexmplvtx  26198
 Copyright terms: Public domain W3C validator