MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0to4untppr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz0to4untppr 12380
Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
fz0to4untppr (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr
StepHypRef Expression
1 df-3 11025 . . . . 5 3 = (2 + 1)
2 2cn 11036 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
32addid2i 10169 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
43eqcomi 2635 . . . . . 6 2 = (0 + 2)
54oveq1i 6615 . . . . 5 (2 + 1) = ((0 + 2) + 1)
61, 5eqtri 2648 . . . 4 3 = ((0 + 2) + 1)
7 3z 11355 . . . . 5 3 ∈ ℤ
8 0re 9985 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
9 3re 11039 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
10 3pos 11059 . . . . . 6 0 < 3
118, 9, 10ltleii 10105 . . . . 5 0 ≤ 3
12 0z 11333 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
1312eluz1i 11639 . . . . 5 (3 ∈ (ℤ‘0) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
147, 11, 13mpbir2an 954 . . . 4 3 ∈ (ℤ‘0)
156, 14eqeltrri 2701 . . 3 ((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ‘0)
16 4z 11356 . . . . 5 4 ∈ ℤ
17 2re 11035 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
18 4re 11042 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
19 2lt4 11143 . . . . . 6 2 < 4
2017, 18, 19ltleii 10105 . . . . 5 2 ≤ 4
21 2z 11354 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
2221eluz1i 11639 . . . . 5 (4 ∈ (ℤ‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
2316, 20, 22mpbir2an 954 . . . 4 4 ∈ (ℤ‘2)
244fveq2i 6153 . . . 4 (ℤ‘2) = (ℤ‘(0 + 2))
2523, 24eleqtri 2702 . . 3 4 ∈ (ℤ‘(0 + 2))
26 fzsplit2 12305 . . 3 ((((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ‘(0 + 2))) → (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)))
2715, 25, 26mp2an 707 . 2 (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4))
28 fztp 12336 . . . . 5 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
2912, 28ax-mp 5 . . . 4 (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
30 ax-1cn 9939 . . . . 5 1 ∈ ℂ
31 eqidd 2627 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → 0 = 0)
32 addid2 10164 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → (0 + 1) = 1)
333a1i 11 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → (0 + 2) = 2)
3431, 32, 33tpeq123d 4258 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
3530, 34ax-mp 5 . . . 4 {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2}
3629, 35eqtri 2648 . . 3 (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
373a1i 11 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
3837oveq1d 6620 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = (2 + 1))
3938, 1syl6eqr 2678 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = 3)
4039oveq1d 6620 . . . . 5 (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = (3...4))
41 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 3 = 3
42 df-4 11026 . . . . . . . . . 10 4 = (3 + 1)
4341, 42pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℤ → (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
45 3lt4 11142 . . . . . . . . . . 11 3 < 4
469, 18, 45ltleii 10105 . . . . . . . . . 10 3 ≤ 4
477eluz1i 11639 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
4816, 46, 47mpbir2an 954 . . . . . . . . 9 4 ∈ (ℤ‘3)
49 fzopth 12317 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) → ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
5144, 50sylibr 224 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → (3...4) = (3...(3 + 1)))
52 fzpr 12335 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
5351, 52eqtrd 2660 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, (3 + 1)})
5442eqcomi 2635 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
5554preq2i 4247 . . . . . 6 {3, (3 + 1)} = {3, 4}
5653, 55syl6eq 2676 . . . . 5 (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, 4})
5740, 56eqtrd 2660 . . . 4 (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4})
587, 57ax-mp 5 . . 3 (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4}
5936, 58uneq12i 3748 . 2 ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
6027, 59eqtri 2648 1 (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cun 3558  {cpr 4155  {ctp 4157   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884  cle 10020  2c2 11015  3c3 11016  4c4 11017  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266
This theorem is referenced by:  prm23lt5  15438  usgrexmplvtx  26040
  Copyright terms: Public domain W3C validator