Theorem fz0to4untppr 13013

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 11704	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2cn 11715	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	2	addid2i 10831	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
4	3	eqcomi 2833	. . . . . 6 ⊢ 2 = (0 + 2)
5	4	oveq1i 7169	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = ((0 + 2) + 1)
6	1, 5	eqtri 2847	. . . 4 ⊢ 3 = ((0 + 2) + 1)
7		3z 12018	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
8		0re 10646	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		3re 11720	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
10		3pos 11745	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
11	8, 9, 10	ltleii 10766	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
12		0z 11995	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	12	eluz1i 12254	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
14	7, 11, 13	mpbir2an 709	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
15	6, 14	eqeltrri 2913	. . 3 ⊢ ((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
16		4z 12019	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
17		2re 11714	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		4re 11724	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
19		2lt4 11815	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
20	17, 18, 19	ltleii 10766	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
21		2z 12017	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	eluz1i 12254	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
23	16, 20, 22	mpbir2an 709	. . . 4 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
24	4	fveq2i 6676	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(0 + 2))
25	23, 24	eleqtri 2914	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))
26		fzsplit2 12935	. . 3 ⊢ ((((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))) → (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)))
27	15, 25, 26	mp2an 690	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4))
28		fztp 12966	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
29	12, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
30		ax-1cn 10598	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		eqidd 2825	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → 0 = 0)
32		addid2 10826	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 1) = 1)
33	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 2) = 2)
34	31, 32, 33	tpeq123d 4687	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
35	30, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2}
36	29, 35	eqtri 2847	. . 3 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
37	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
38	37	oveq1d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = (2 + 1))
39	38, 1	syl6eqr 2877	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = 3)
40	39	oveq1d 7174	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = (3...4))
41		eqid 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = 3
42		df-4 11705	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
43	41, 42	pm3.2i 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
45		3lt4 11814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 < 4
46	9, 18, 45	ltleii 10766	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≤ 4
47	7	eluz1i 12254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
48	16, 46, 47	mpbir2an 709	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
49		fzopth 12947	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) → ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
51	44, 50	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = (3...(3 + 1)))
52		fzpr 12965	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
53	51, 52	eqtrd 2859	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, (3 + 1)})
54	42	eqcomi 2833	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
55	54	preq2i 4676	. . . . . 6 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
56	53, 55	syl6eq 2875	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, 4})
57	40, 56	eqtrd 2859	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4})
58	7, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4}
59	36, 58	uneq12i 4140	. 2 ⊢ ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
60	27, 59	eqtri 2847	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3937  {cpr 4572  {ctp 4574   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   ≤ cle 10679  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896

This theorem is referenced by:  prm23lt5  16154  usgrexmplvtx  27046