Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fz1eqin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz1eqin 37832
Description: Express a one-based finite range as the intersection of lower integers with . (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fz1eqin (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) = ((ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ))

Proof of Theorem fz1eqin
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 11597 . . . . 5 1 ∈ ℤ
2 nn0z 11590 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 elfz1 12522 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎𝑎𝑁)))
41, 2, 3sylancr 698 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎𝑎𝑁)))
5 3anass 1081 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎𝑎𝑁) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑎𝑎𝑁)))
6 ancom 465 . . . . . 6 ((1 ≤ 𝑎𝑎𝑁) ↔ (𝑎𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎))
76anbi2i 732 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (1 ≤ 𝑎𝑎𝑁)) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎)))
8 anandi 906 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎𝑁 ∧ 1 ≤ 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
95, 7, 83bitri 286 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎𝑎𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
104, 9syl6bb 276 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
11 elin 3937 . . . 4 (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ) ↔ (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ ℕ))
12 ellz1 37830 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)))
132, 12syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)))
14 elnnz1 11593 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))
1514a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎)))
1613, 15anbi12d 749 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
1711, 16syl5bb 272 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑎))))
1810, 17bitr4d 271 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (1...𝑁) ↔ 𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ)))
1918eqrdv 2756 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) = ((ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∩ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  cdif 3710  cin 3712   class class class wbr 4802  cfv 6047  (class class class)co 6811  1c1 10127   + caddc 10129  cle 10265  cn 11210  0cn0 11482  cz 11567  cuz 11877  ...cfz 12517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-fz 12518
This theorem is referenced by:  diophin  37836
  Copyright terms: Public domain W3C validator