Theorem fz1f1o 14374

Description: A lemma for working with finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1f1o	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem fz1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 13087	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		elnn0 11238	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (#‘𝐴) = 0))
3	1, 2	sylib 208	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (#‘𝐴) = 0))
4	3	orcomd 403	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) = 0 ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ))
5		hasheq0 13094	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
6		hashfz1 13074	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(#‘𝐴))) = (#‘𝐴))
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘(1...(#‘𝐴))) = (#‘𝐴))
8		fzfi 12711	. . . . . . 7 ⊢ (1...(#‘𝐴)) ∈ Fin
9		hashen 13075	. . . . . . 7 ⊢ (((1...(#‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘(1...(#‘𝐴))) = (#‘𝐴) ↔ (1...(#‘𝐴)) ≈ 𝐴))
10	8, 9	mpan 705	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘(1...(#‘𝐴))) = (#‘𝐴) ↔ (1...(#‘𝐴)) ≈ 𝐴))
11	7, 10	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(#‘𝐴)) ≈ 𝐴)
12		bren 7908	. . . . 5 ⊢ ((1...(#‘𝐴)) ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
13	11, 12	sylib 208	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
14	13	biantrud 528	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
15	5, 14	orbi12d 745	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (((#‘𝐴) = 0 ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴))))
16	4, 15	mpbid 222	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987  ∅c0 3891   class class class wbr 4613  –1-1-onto→wf1o 5846  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ≈ cen 7896  Fincfn 7899  0cc0 9880  1c1 9881  ℕcn 10964  ℕ₀cn0 11236  ...cfz 12268  #chash 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058

This theorem is referenced by:  sumz  14386  fsumf1o  14387  fsumss  14389  fsumcl2lem  14395  fsumadd  14403  fsummulc2  14444  fsumconst  14450  fsumrelem  14466  prod1  14599  fprodf1o  14601  fprodss  14603  fprodcl2lem  14605  fprodmul  14615  fproddiv  14616  fprodconst  14633  fprodn0  14634  gsumval3eu  18226  gsumzres  18231  gsumzcl2  18232  gsumzf1o  18234  gsumzaddlem  18242  gsumconst  18255  gsumzmhm  18258  gsumzoppg  18265  gsumfsum  19732  f1ocnt  29397  stoweidlem35  39556  stoweidlem39  39560