Theorem fz1iso 13284

Description: Any finite ordered set has an order isometry to a one-based finite sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1iso	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑅,𝑓

Proof of Theorem fz1iso

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2651	. 2 ⊢ (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) ↾ ω) = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) ↾ ω)
2		eqid 2651	. 2 ⊢ (ℕ ∩ (◡ < “ {((#‘𝐴) + 1)})) = (ℕ ∩ (◡ < “ {((#‘𝐴) + 1)}))
3		eqid 2651	. 2 ⊢ (ω ∩ (◡(rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) ↾ ω)‘((#‘𝐴) + 1))) = (ω ∩ (◡(rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) ↾ ω)‘((#‘𝐴) + 1)))
4		eqid 2651	. 2 ⊢ OrdIso(𝑅, 𝐴) = OrdIso(𝑅, 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	fz1isolem 13283	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∩ cin 3606  {csn 4210   ↦ cmpt 4762   Or wor 5063  ^◡ccnv 5142   ↾ cres 5145   “ cima 5146  ‘cfv 5926   Isom wiso 5927  (class class class)co 6690  ωcom 7107  reccrdg 7550  Fincfn 7997  OrdIsocoi 8455  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  ℕcn 11058  ...cfz 12364  #chash 13157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158

This theorem is referenced by:  summolem2  14491  zsum  14493  prodmolem2  14709  zprod  14711  gsumval3  18354  erdsze2lem1  31311  fzisoeu  39828