MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz1sbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz1sbc 12354
Description: Quantification over a one-member finite set of sequential integers in terms of substitution. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fz1sbc (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑[𝑁 / 𝑘]𝜑))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem fz1sbc
StepHypRef Expression
1 sbc6g 3448 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ([𝑁 / 𝑘]𝜑 ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁𝜑)))
2 df-ral 2917 . . 3 (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑))
3 elfz1eq 12291 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
4 elfz3 12290 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁))
5 eleq1 2692 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁)))
64, 5syl5ibrcom 237 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑁𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)))
73, 6impbid2 216 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
87imbi1d 331 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑) ↔ (𝑘 = 𝑁𝜑)))
98albidv 1851 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑) ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁𝜑)))
102, 9syl5rbb 273 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 = 𝑁𝜑) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑))
111, 10bitr2d 269 1 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑[𝑁 / 𝑘]𝜑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  [wsbc 3422  (class class class)co 6605  cz 11322  ...cfz 12265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-neg 10214  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator