Theorem fzind 12074

Description: Induction on the integers from 𝑀 to 𝑁 inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzind.1	⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
fzind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
fzind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
fzind.4	⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
fzind.5	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓)
fzind.6	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
fzind	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fzind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
3		fzind.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓)))
5		breq1 5062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ 𝑦 ≤ 𝑁))
6	5	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
7		fzind.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8	6, 7	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) → 𝜒)))
9		breq1 5062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
10	9	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
11		fzind.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
12	10, 11	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
13		breq1 5062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
14	13	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
15		fzind.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
16	14, 15	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝜏)))
17		fzind.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓)
18	17	3expib 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓))
19		zre 11979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
20		zre 11979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
21		p1le 11479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑦 ≤ 𝑁)
22	21	3expia 1117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁))
23	19, 20, 22	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁))
24	23	imdistanda 574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
25	24	imim1d 82	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒)))
26	25	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒)))
27		zltp1le 12026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
28	27	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
29	28	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
30	29	pm5.32d 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
31	30	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
32		fzind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
33	32	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝜒 → 𝜃)))
34	33	3expa 1114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝜒 → 𝜃)))
35	34	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
36	31, 35	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
37	36	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃))))
38	37	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃))))
39	38	expd 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃)))))
40	39	3impib 1112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒 → 𝜃))))
41	40	impcomd 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
42	41	a2d 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
43	26, 42	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
44	4, 8, 12, 16, 18, 43	uzind 12068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝜏))
45	44	expcomd 419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
46	45	3expb 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾)) → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
47	46	expcom 416	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))))
48	47	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))))
49	48	3impia 1113	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
50	49	impd 413	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝜏))
51	50	impcom 410	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5059  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669   ≤ cle 10670  ℤcz 11975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976

This theorem is referenced by:  fnn0ind  12075  fzind2  13149  ssinc  41346  ssdec  41347