Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzisoeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzisoeu 38975
Description: A finite ordered set has a unique order isomorphism to a generic finite sequence of integers. This theorem generalizes fz1iso 13184 for the base index and also states the uniqueness condition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fzisoeu.h (𝜑𝐻 ∈ Fin)
fzisoeu.or (𝜑 → < Or 𝐻)
fzisoeu.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fzisoeu.4 𝑁 = ((#‘𝐻) + (𝑀 − 1))
Assertion
Ref Expression
fzisoeu (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐻   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem fzisoeu
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssz 12285 . . . . . . . . 9 (𝑀...𝑁) ⊆ ℤ
2 zssre 11328 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
31, 2sstri 3592 . . . . . . . 8 (𝑀...𝑁) ⊆ ℝ
4 ltso 10062 . . . . . . . 8 < Or ℝ
5 soss 5013 . . . . . . . 8 ((𝑀...𝑁) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (𝑀...𝑁)))
63, 4, 5mp2 9 . . . . . . 7 < Or (𝑀...𝑁)
7 fzfi 12711 . . . . . . 7 (𝑀...𝑁) ∈ Fin
8 fz1iso 13184 . . . . . . 7 (( < Or (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → ∃ Isom < , < ((1...(#‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)))
96, 7, 8mp2an 707 . . . . . 6 Isom < , < ((1...(#‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁))
10 fzisoeu.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑁 = ((#‘𝐻) + (𝑀 − 1))
11 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐻 = ∅ → (#‘𝐻) = (#‘∅))
12 hash0 13098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (#‘∅) = 0
1311, 12syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 = ∅ → (#‘𝐻) = 0)
1413oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 = ∅ → ((#‘𝐻) + (𝑀 − 1)) = (0 + (𝑀 − 1)))
1510, 14syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻 = ∅ → 𝑁 = (0 + (𝑀 − 1)))
1615oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 = ∅ → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))))
1716adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐻 = ∅) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))))
18 fzisoeu.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1918zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
20 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2119, 20subcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
2221addid2d 10181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0 + (𝑀 − 1)) = (𝑀 − 1))
2322oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
2418zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2524ltm1d 10900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
26 peano2zm 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2718, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
28 fzn 12299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
2918, 27, 28syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
3025, 29mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
3123, 30eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))) = ∅)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐻 = ∅) → (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))) = ∅)
33 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻 = ∅ ↔ ∅ = 𝐻)
3433biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 = ∅ → ∅ = 𝐻)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐻 = ∅) → ∅ = 𝐻)
3617, 32, 353eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐻 = ∅) → (𝑀...𝑁) = 𝐻)
3736fveq2d 6152 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐻 = ∅) → (#‘(𝑀...𝑁)) = (#‘𝐻))
3820, 19pncan3d 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 + (𝑀 − 1)) = 𝑀)
3938eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 = (1 + (𝑀 − 1)))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑀 = (1 + (𝑀 − 1)))
41 1red 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 1 ∈ ℝ)
42 neqne 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻 = ∅ → 𝐻 ≠ ∅)
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝐻 ≠ ∅)
44 fzisoeu.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝐻 ∈ Fin)
46 hashnncl 13097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐻 ∈ Fin → ((#‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → ((#‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
4843, 47mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (#‘𝐻) ∈ ℕ)
4948nnred 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (#‘𝐻) ∈ ℝ)
5027zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
5248nnge1d 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 1 ≤ (#‘𝐻))
5341, 49, 51, 52leadd1dd 10585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (1 + (𝑀 − 1)) ≤ ((#‘𝐻) + (𝑀 − 1)))
5453, 10syl6breqr 4655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (1 + (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁)
5540, 54eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑀𝑁)
5618adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
57 hashcl 13087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐻 ∈ Fin → (#‘𝐻) ∈ ℕ0)
58 nn0z 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝐻) ∈ ℕ0 → (#‘𝐻) ∈ ℤ)
5944, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (#‘𝐻) ∈ ℤ)
6059, 27zaddcld 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((#‘𝐻) + (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
6110, 60syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑁 ∈ ℤ)
63 eluz 11645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
6456, 62, 63syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
6555, 64mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
66 hashfz 13154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (#‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁𝑀) + 1))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (#‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁𝑀) + 1))
6810oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝑀) = (((#‘𝐻) + (𝑀 − 1)) − 𝑀)
6944, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (#‘𝐻) ∈ ℕ0)
7069nn0cnd 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (#‘𝐻) ∈ ℂ)
7170, 21, 19addsubassd 10356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((#‘𝐻) + (𝑀 − 1)) − 𝑀) = ((#‘𝐻) + ((𝑀 − 1) − 𝑀)))
7268, 71syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑀) = ((#‘𝐻) + ((𝑀 − 1) − 𝑀)))
7319, 20negsubd 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 + -1) = (𝑀 − 1))
7473eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀 − 1) = (𝑀 + -1))
7574oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑀 − 1) − 𝑀) = ((𝑀 + -1) − 𝑀))
7620negcld 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
7719, 76pncan2d 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑀 + -1) − 𝑀) = -1)
7875, 77eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 − 1) − 𝑀) = -1)
7978oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((#‘𝐻) + ((𝑀 − 1) − 𝑀)) = ((#‘𝐻) + -1))
8072, 79eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁𝑀) = ((#‘𝐻) + -1))
8180oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 1) = (((#‘𝐻) + -1) + 1))
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → ((𝑁𝑀) + 1) = (((#‘𝐻) + -1) + 1))
8370, 20negsubd 10342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((#‘𝐻) + -1) = ((#‘𝐻) − 1))
8483oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((#‘𝐻) + -1) + 1) = (((#‘𝐻) − 1) + 1))
8570, 20npcand 10340 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((#‘𝐻) − 1) + 1) = (#‘𝐻))
8684, 85eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((#‘𝐻) + -1) + 1) = (#‘𝐻))
8786adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (((#‘𝐻) + -1) + 1) = (#‘𝐻))
8867, 82, 873eqtrd 2659 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (#‘(𝑀...𝑁)) = (#‘𝐻))
8937, 88pm2.61dan 831 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘(𝑀...𝑁)) = (#‘𝐻))
9089oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...(#‘(𝑀...𝑁))) = (1...(#‘𝐻)))
91 isoeq4 6524 . . . . . . . . 9 ((1...(#‘(𝑀...𝑁))) = (1...(#‘𝐻)) → ( Isom < , < ((1...(#‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) ↔ Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
9290, 91syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( Isom < , < ((1...(#‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) ↔ Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
9392biimpd 219 . . . . . . 7 (𝜑 → ( Isom < , < ((1...(#‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) → Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
9493eximdv 1843 . . . . . 6 (𝜑 → (∃ Isom < , < ((1...(#‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) → ∃ Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
959, 94mpi 20 . . . . 5 (𝜑 → ∃ Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)))
96 fzisoeu.or . . . . . 6 (𝜑 → < Or 𝐻)
97 fz1iso 13184 . . . . . 6 (( < Or 𝐻𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻))
9896, 44, 97syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻))
99 eeanv 2181 . . . . 5 (∃𝑔( Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻)) ↔ (∃ Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻)))
10095, 98, 99sylanbrc 697 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑔( Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻)))
101 isocnv 6534 . . . . . . . 8 ( Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) → Isom < , < ((𝑀...𝑁), (1...(#‘𝐻))))
102101ad2antrl 763 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻))) → Isom < , < ((𝑀...𝑁), (1...(#‘𝐻))))
103 simprr 795 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻))
104 isotr 6540 . . . . . . 7 (( Isom < , < ((𝑀...𝑁), (1...(#‘𝐻))) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻)) → (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
105102, 103, 104syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻))) → (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
106105ex 450 . . . . 5 (𝜑 → (( Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻)) → (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
1071062eximdv 1845 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑔( Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻)) → ∃𝑔(𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
108100, 107mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
109 vex 3189 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
110 vex 3189 . . . . . . . 8 ∈ V
111110cnvex 7060 . . . . . . 7 ∈ V
112109, 111coex 7065 . . . . . 6 (𝑔) ∈ V
113 isoeq1 6521 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑔) → (𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) ↔ (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
114112, 113spcev 3286 . . . . 5 ((𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
115114a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
116115exlimdvv 1859 . . 3 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
117108, 116mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
118 ltwefz 12702 . . 3 < We (𝑀...𝑁)
119 wemoiso 7098 . . 3 ( < We (𝑀...𝑁) → ∃*𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
120118, 119mp1i 13 . 2 (𝜑 → ∃*𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
121 eu5 2495 . 2 (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) ↔ (∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) ∧ ∃*𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
122117, 120, 121sylanbrc 697 1 (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  ∃!weu 2469  ∃*wmo 2470  wne 2790  wss 3555  c0 3891   class class class wbr 4613   Or wor 4994   We wwe 5032  ccnv 5073  ccom 5078  cfv 5847   Isom wiso 5848  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  #chash 13057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058
This theorem is referenced by:  fourierdlem36  39664
  Copyright terms: Public domain W3C validator