MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzm1 12358
Description: Choices for an element of a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzm1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))

Proof of Theorem fzm1
StepHypRef Expression
1 oveq1 6612 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 → (𝑁...𝑁) = (𝑀...𝑁))
21eleq2d 2689 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
3 elfz1eq 12291 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
42, 3syl6bir 244 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 = 𝑁))
5 olc 399 . . . . 5 (𝐾 = 𝑁 → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
64, 5syl6 35 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
76adantl 482 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
8 noel 3900 . . . . . 6 ¬ 𝐾 ∈ ∅
9 eluzelz 11641 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
109adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110zred 11426 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
1211ltm1d 10901 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
13 breq2 4622 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 𝑀 → ((𝑁 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑀))
1413adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝑁 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑀))
1512, 14mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) < 𝑀)
16 eluzel2 11636 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
18 1zzd 11353 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
1910, 18zsubcld 11431 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
20 fzn 12296 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅))
2117, 19, 20syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝑁 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅))
2215, 21mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
2322eleq2d 2689 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝐾 ∈ ∅))
248, 23mtbiri 317 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
2524pm2.21d 118 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
26 eluzfz2 12288 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
2726ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
28 eleq1 2692 . . . . . . 7 (𝐾 = 𝑁 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
2928adantl 482 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
3027, 29mpbird 247 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
3130ex 450 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 = 𝑁𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
3225, 31jaod 395 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
337, 32impbid 202 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
34 elfzp1 12330 . . . 4 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1))))
3534adantl 482 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1))))
369adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3736zcnd 11427 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
38 npcan1 10400 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3937, 38syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4039oveq2d 6621 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
4140eleq2d 2689 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
4239eqeq2d 2636 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1) ↔ 𝐾 = 𝑁))
4342orbi2d 737 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
4435, 41, 433bitr3d 298 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
45 uzm1 11662 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
4633, 44, 45mpjaodan 826 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  c0 3896   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  1c1 9882   + caddc 9884   < clt 10019  cmin 10211  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266
This theorem is referenced by:  bcpasc  13045  phibndlem  15394  lgsdir2lem2  24946  submateqlem2  29648  poimirlem14  33041  poimirlem23  33050  poimirlem25  33052  poimirlem27  33054  acongeq  37016  jm2.26lem3  37034
  Copyright terms: Public domain W3C validator