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Theorem fzmul 33190
Description: Membership of a product in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzmul ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))

Proof of Theorem fzmul
StepHypRef Expression
1 elfz1 12276 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐽𝐽𝑁)))
213adant3 1079 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐽𝐽𝑁)))
3 zre 11328 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4 zre 11328 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
5 nnre 10974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
6 nngt0 10996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
75, 6jca 554 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾))
8 lemul2 10823 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → (𝑀𝐽 ↔ (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
93, 4, 7, 8syl3an 1365 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑀𝐽 ↔ (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
1093expa 1262 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑀𝐽 ↔ (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
1110biimpd 219 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑀𝐽 → (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
1211adantllr 754 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑀𝐽 → (𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽)))
13 zre 11328 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
14 lemul2 10823 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → (𝐽𝑁 ↔ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
154, 13, 7, 14syl3an 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽𝑁 ↔ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
16153expa 1262 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽𝑁 ↔ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
1716ancom1s 846 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽𝑁 ↔ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
1817biimpd 219 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽𝑁 → (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
1918adantlll 753 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽𝑁 → (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))
2012, 19anim12d 585 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑀𝐽𝐽𝑁) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁))))
21 zmulcl 11373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
2221ex 450 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ))
23 zmulcl 11373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
2423ex 450 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ))
25 zmulcl 11373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ)
2625ex 450 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐽 ∈ ℤ → (𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ))
2722, 24, 263anim123d 1403 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ)))
28 elfz 12277 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁))))
29283coml 1269 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝐽) ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁))))
3027, 29syl6 35 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))))
31 nnz 11346 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
3230, 31syl11 33 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))))
33323expa 1262 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁)))))
3433imp 445 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 · 𝑀) ≤ (𝐾 · 𝐽) ∧ (𝐾 · 𝐽) ≤ (𝐾 · 𝑁))))
3520, 34sylibrd 249 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑀𝐽𝐽𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
3635an32s 845 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐽𝐽𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
3736exp4b 631 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ ℤ → (𝑀𝐽 → (𝐽𝑁 → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))))
38373impd 1278 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐽𝐽𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
39383impa 1256 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐽𝐽𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
402, 39sylbid 230 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 · 𝐽) ∈ ((𝐾 · 𝑀)...(𝐾 · 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1987   class class class wbr 4615  (class class class)co 6607  cr 9882  0cc0 9883   · cmul 9888   < clt 10021  cle 10022  cn 10967  cz 11324  ...cfz 12271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-fz 12272
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