Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fznn0sub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fznn0sub2 12390
 Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fznn0sub2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem fznn0sub2
StepHypRef Expression
1 elfzle1 12289 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
2 elfzel2 12285 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 elfzelz 12287 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 zre 11328 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5 zre 11328 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
6 subge02 10491 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
74, 5, 6syl2an 494 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
82, 3, 7syl2anc 692 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
91, 8mpbid 222 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ≤ 𝑁)
10 fznn0sub 12318 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
11 nn0uz 11669 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
1210, 11syl6eleq 2708 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (ℤ‘0))
13 elfz5 12279 . . 3 (((𝑁𝐾) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
1412, 2, 13syl2anc 692 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
159, 14mpbird 247 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4615  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  ℝcr 9882  0cc0 9883   ≤ cle 10022   − cmin 10213  ℕ0cn0 11239  ℤcz 11324  ℤ≥cuz 11634  ...cfz 12271 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272 This theorem is referenced by:  uzsubfz0  12391  bccmpl  13039  revcl  13450  revlen  13451  revccat  13455  revrev  13456  2cshwcshw  13511  cshwcshid  13513  revco  13520  fsum0diag2  14446  mertenslem1  14544  cshwshashlem2  15730  taylthlem2  24039  birthdaylem2  24586  basellem3  24716  eleclclwwlksnlem2  26812  signstfveq0  30446  dvnprodlem2  39485  pfxlswccat  40735  ply1mulgsumlem2  41479
 Copyright terms: Public domain W3C validator