Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0dvdseq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzo0dvdseq 14969
 Description: Zero is the only one of the first 𝐴 nonnegative integers that is divisible by 𝐴. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0dvdseq (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))

Proof of Theorem fzo0dvdseq
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 12420 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
2 elfzoelz 12411 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
32zred 11426 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 elfzoel2 12410 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
54zred 11426 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
63, 5ltnled 10128 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
71, 6mpbid 222 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
87adantr 481 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ¬ 𝐴𝐵)
94adantr 481 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
10 elfzonn0 12453 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
1110adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
12 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
13 eldifsn 4287 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ≠ 0))
1411, 12, 13sylanbrc 697 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
15 dfn2 11249 . . . . . . 7 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
1614, 15syl6eleqr 2709 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ)
17 dvdsle 14956 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
189, 16, 17syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
198, 18mtod 189 . . . 4 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ¬ 𝐴𝐵)
2019ex 450 . . 3 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → ¬ 𝐴𝐵))
2120necon4ad 2809 . 2 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))
22 dvds0 14921 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 0)
234, 22syl 17 . . 3 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∥ 0)
24 breq2 4617 . . 3 (𝐵 = 0 → (𝐴𝐵𝐴 ∥ 0))
2523, 24syl5ibrcom 237 . 2 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 = 0 → 𝐴𝐵))
2621, 25impbid 202 1 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∖ cdif 3552  {csn 4148   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  0cc0 9880   < clt 10018   ≤ cle 10019  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  ℤcz 11321  ..^cfzo 12406   ∥ cdvds 14907 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-dvds 14908 This theorem is referenced by:  fzocongeq  14970
 Copyright terms: Public domain W3C validator