Theorem fzo0to2pr 12375

Description: A half-open integer range from 0 to 2 is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to2pr	⊢ (0..^2) = {0, 1}

Proof of Theorem fzo0to2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 11242	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		fzoval 12295	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℤ → (0..^2) = (0...(2 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^2) = (0...(2 − 1))
4		2m1e1 10982	. . . 4 ⊢ (2 − 1) = 1
5		0p1e1 10979	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
6	4, 5	eqtr4i 2634	. . 3 ⊢ (2 − 1) = (0 + 1)
7	6	oveq2i 6538	. 2 ⊢ (0...(2 − 1)) = (0...(0 + 1))
8		0z 11221	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		fzpr 12221	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
10	5	preq2i 4215	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1)} = {0, 1}
11	9, 10	syl6eq 2659	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, 1})
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...(0 + 1)) = {0, 1}
13	3, 7, 12	3eqtri 2635	1 ⊢ (0..^2) = {0, 1}

Syntax hints:   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  {cpr 4126  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   − cmin 10117  2c2 10917  ℤcz 11210  ...cfz 12152  ..^cfzo 12289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290

This theorem is referenced by:  fzo0to42pr  12377  s2dm  13431  wrdlen2i  13480  wrd2pr2op  13481  wwlktovf1  13494  bitsinv1lem  14947  2trllemB  25847  wlkntrllem1  25855  is2wlk  25861  usgra2wlkspthlem1  25913  usgra2wlkspthlem2  25914  usgrcyclnl2  25935  usg2wlkonot  26176  usg2wotspth  26177  lmat22lem  29017  eulerpartlemd  29561  elmod2  39748  pfx2  40073  upgr2wlk  40871  usgr2wlkneq  40957  usgr2trlncl  40961  usgr2pthlem  40964  usgr2pth  40965  uspgrn2crct  41006  21wlkdlem2  41128  umgrwwlks2on  41156