MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo1fzo0n0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzo1fzo0n0 12341
Description: An integer between 1 and an upper bound of a half-open integer range is not 0 and between 0 and the upper bound of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzo1fzo0n0 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))

Proof of Theorem fzo1fzo0n0
StepHypRef Expression
1 elfzo2 12297 . . 3 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2 elnnuz 11556 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
3 nnnn0 11146 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
43adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
54adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6 nngt0 10896 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
7 0red 9897 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
8 nnre 10874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
98adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
10 zre 11214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1110adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12 lttr 9965 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐾𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
137, 9, 11, 12syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐾𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
14 elnnz 11220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
1514simplbi2 652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
1615adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
1713, 16syld 45 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐾𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ))
1817exp4b 629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ → (0 < 𝐾 → (𝐾 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))))
1918com13 85 . . . . . . . . . . 11 (0 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))))
206, 19mpcom 37 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ)))
2120imp31 446 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22 simpr 475 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
235, 21, 223jca 1234 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2423exp31 627 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))))
252, 24sylbir 223 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))))
26253imp 1248 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
27 elfzo0 12331 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2826, 27sylibr 222 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
29 nnne0 10900 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
302, 29sylbir 223 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ‘1) → 𝐾 ≠ 0)
31303ad2ant1 1074 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
3228, 31jca 552 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
331, 32sylbi 205 . 2 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
34 elnnne0 11153 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0))
35 nnge1 10893 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
3634, 35sylbir 223 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → 1 ≤ 𝐾)
37363ad2antl1 1215 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 1 ≤ 𝐾)
38 simpl3 1058 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 < 𝑁)
39 nn0z 11233 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
4039adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
41 1zzd 11241 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
42 nnz 11232 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4342adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4440, 41, 433jca 1234 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
45443adant3 1073 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4645adantr 479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
47 elfzo 12296 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑁)))
4846, 47syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑁)))
4937, 38, 48mpbir2and 958 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
5027, 49sylanb 487 . 2 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
5133, 50impbii 197 1 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   < clt 9930  cle 9931  cn 10867  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519  ..^cfzo 12289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290
This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  15296  clwwisshclww  26101  iccpartigtl  39759  iccpartgt  39763  crctcsh1wlkn0  41019  clwwisshclwws  41230  upgr4cycl4dv4e  41347  modn0mul  42104
  Copyright terms: Public domain W3C validator