MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo1fzo0n0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzo1fzo0n0 12558
Description: An integer between 1 and an upper bound of a half-open integer range is not 0 and between 0 and the upper bound of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzo1fzo0n0 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))

Proof of Theorem fzo1fzo0n0
StepHypRef Expression
1 elfzo2 12512 . . 3 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2 elnnuz 11762 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
3 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
43adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
54adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6 nngt0 11087 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
7 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
8 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
98adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
10 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12 lttr 10152 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐾𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
137, 9, 11, 12syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐾𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
14 elnnz 11425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
1514simplbi2 654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
1713, 16syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐾𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ))
1817exp4b 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ → (0 < 𝐾 → (𝐾 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))))
1918com13 88 . . . . . . . . . . 11 (0 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))))
206, 19mpcom 38 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ)))
2120imp31 447 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
235, 21, 223jca 1261 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2423exp31 629 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))))
252, 24sylbir 225 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))))
26253imp 1275 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
27 elfzo0 12548 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2826, 27sylibr 224 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
29 nnne0 11091 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
302, 29sylbir 225 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ‘1) → 𝐾 ≠ 0)
31303ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
3228, 31jca 553 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
331, 32sylbi 207 . 2 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
34 elnnne0 11344 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0))
35 nnge1 11084 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
3634, 35sylbir 225 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → 1 ≤ 𝐾)
37363ad2antl1 1243 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 1 ≤ 𝐾)
38 simpl3 1086 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 < 𝑁)
39 nn0z 11438 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
4039adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
41 1zzd 11446 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
42 nnz 11437 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4342adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4440, 41, 433jca 1261 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
45443adant3 1101 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4645adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
47 elfzo 12511 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑁)))
4846, 47syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑁)))
4937, 38, 48mpbir2and 977 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
5027, 49sylanb 488 . 2 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
5133, 50impbii 199 1 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ..^cfzo 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  15559  crctcshwlkn0  26769  clwwisshclwws  26972  upgr4cycl4dv4e  27163  iccpartigtl  41684  iccpartgt  41688  modn0mul  42640
  Copyright terms: Public domain W3C validator