MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoend Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzoend 12382
Description: The endpoint of a half-open integer range. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoend (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴..^𝐵))

Proof of Theorem fzoend
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵))
2 elfzoel2 12295 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 fzoval 12297 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
51, 4eleqtrd 2689 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
6 elfzuz3 12167 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴))
75, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴))
8 eluzfz2 12177 . . 3 ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
97, 8syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
109, 4eleqtrrd 2690 1 (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴..^𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5789  (class class class)co 6526  1c1 9793  cmin 10117  cz 11212  cuz 11521  ...cfz 12154  ..^cfzo 12291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-pre-lttri 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-neg 10120  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-fzo 12292
This theorem is referenced by:  fzo0end  12383  ssfzo12  12384  lswccatn0lsw  13174  efgsdmi  17916  efgs1b  17920  clwlkisclwwlklem1  26108  fzoopth  40166  clwlkclwwlklem2  41190
  Copyright terms: Public domain W3C validator