Theorem fzoend 13122

Description: The endpoint of a half-open integer range. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoend	⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴..^𝐵))

Proof of Theorem fzoend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵))
2		elfzoel2 13031	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		fzoval 13033	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
5	1, 4	eleqtrd 2915	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
6		elfzuz3 12899	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
8		eluzfz2 12909	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
10	9, 4	eleqtrrd 2916	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴..^𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  1c1 10532   − cmin 10864  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ...cfz 12886  ..^cfzo 13027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-neg 10867  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028

This theorem is referenced by:  fzo0end  13123  ssfzo12  13124  lswccatn0lsw  13939  efgsdmi  18852  efgs1b  18856  clwlkclwwlklem2  27772  fzoopth  43520