MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzofi 12938
Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofi (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi
StepHypRef Expression
1 fzoval 12636 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
21adantl 473 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3 fzfi 12936 . . 3 (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
42, 3syl6eqel 2835 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5 fzof 12632 . . . . 5 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
65fdmi 6201 . . . 4 dom ..^ = (ℤ × ℤ)
76ndmov 6971 . . 3 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8 0fin 8341 . . 3 ∅ ∈ Fin
97, 8syl6eqel 2835 . 2 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
104, 9pm2.61i 176 1 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  c0 4046  𝒫 cpw 4290   × cxp 5252  (class class class)co 6801  Fincfn 8109  1c1 10100  cmin 10429  cz 11540  ...cfz 12490  ..^cfzo 12630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631
This theorem is referenced by:  uzindi  12946  fnfzo0hashnn0  13398  wrdfin  13480  hashwrdn  13494  ccatalpha  13536  telfsumo  14704  fsumparts  14708  geoserg  14768  bitsfi  15332  bitsinv1  15337  bitsinvp1  15344  sadcaddlem  15352  sadadd2lem  15354  sadadd3  15356  sadaddlem  15361  sadasslem  15365  sadeq  15367  crth  15656  phimullem  15657  eulerthlem2  15660  eulerth  15661  phisum  15668  prmgaplem3  15930  cshwshashnsame  15983  ablfaclem3  18657  ablfac2  18659  iunmbl  23492  volsup  23495  dvfsumle  23954  dvfsumge  23955  dvfsumabs  23956  advlogexp  24571  dchrisumlem1  25348  dchrisumlem2  25349  dchrisum  25351  vdegp1bi  26614  eupthfi  27328  trlsegvdeglem6  27348  fz1nnct  29840  sigapildsys  30505  carsgclctunlem3  30662  ccatmulgnn0dir  30899  ofcccat  30900  signsplypnf  30907  signsvvf  30936  prodfzo03  30961  fsum2dsub  30965  reprle  30972  reprsuc  30973  reprfi  30974  reprlt  30977  hashreprin  30978  reprgt  30979  reprinfz1  30980  reprpmtf1o  30984  breprexplema  30988  breprexplemc  30990  breprexpnat  30992  circlemeth  30998  circlemethnat  30999  circlevma  31000  circlemethhgt  31001  hgt750lema  31015  mvrsfpw  31681  poimirlem26  33717  poimirlem27  33718  poimirlem28  33719  poimirlem30  33721  amgm2d  38972  amgm3d  38973  amgm4d  38974  fourierdlem25  40821  fourierdlem70  40865  fourierdlem71  40866  fourierdlem73  40868  fourierdlem79  40874  fourierdlem80  40875  meaiunlelem  41157  pwdif  41980  2pwp1prm  41982  nn0sumshdiglemA  42892  nn0sumshdiglemB  42893  nn0mullong  42898  amgmw2d  43032
  Copyright terms: Public domain W3C validator