Theorem fzofi 13345

Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofi	⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoval 13042	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2	1	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3		fzfi 13343	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
4	2, 3	eqeltrdi 2923	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5		fzof 13038	. . . . 5 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6526	. . . 4 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7334	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8		0fin 8748	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2923	. 2 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
10	4, 9	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∅c0 4293  𝒫 cpw 4541   × cxp 5555  (class class class)co 7158  Fincfn 8511  1c1 10540   − cmin 10872  ℤcz 11984  ...cfz 12895  ..^cfzo 13036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037

This theorem is referenced by:  uzindi  13353  fnfzo0hashnn0  13812  wrdfin  13884  hashwrdn  13900  ccatalpha  13949  telfsumo  15159  fsumparts  15163  geoserg  15223  pwdif  15225  bitsfi  15788  bitsinv1  15793  bitsinvp1  15800  sadcaddlem  15808  sadadd2lem  15810  sadadd3  15812  sadaddlem  15817  sadasslem  15821  sadeq  15823  crth  16117  phimullem  16118  eulerthlem2  16121  eulerth  16122  phisum  16129  prmgaplem3  16391  cshwshashnsame  16439  ablfaclem3  19211  ablfac2  19213  iunmbl  24156  volsup  24159  dvfsumle  24620  dvfsumge  24621  dvfsumabs  24622  advlogexp  25240  dchrisumlem1  26067  dchrisumlem2  26068  dchrisum  26070  vdegp1bi  27321  eupthfi  27986  trlsegvdeglem6  28006  fz1nnct  30528  cycpmconjslem2  30799  sigapildsys  31423  carsgclctunlem3  31580  ccatmulgnn0dir  31814  ofcccat  31815  signsplypnf  31822  signsvvf  31851  prodfzo03  31876  fsum2dsub  31880  reprle  31887  reprsuc  31888  reprfi  31889  reprlt  31892  hashreprin  31893  reprgt  31894  reprinfz1  31895  reprpmtf1o  31899  breprexplema  31903  breprexplemc  31905  breprexpnat  31907  circlemeth  31913  circlemethnat  31914  circlevma  31915  circlemethhgt  31916  hgt750lema  31930  lpadlem2  31953  mvrsfpw  32755  poimirlem26  34920  poimirlem27  34921  poimirlem28  34922  poimirlem30  34924  frlmfzowrdb  39150  frlmvscadiccat  39152  fltnltalem  39281  amgm2d  40558  amgm3d  40559  amgm4d  40560  fourierdlem25  42424  fourierdlem70  42468  fourierdlem71  42469  fourierdlem73  42471  fourierdlem79  42477  fourierdlem80  42478  meaiunlelem  42757  2pwp1prm  43758  nn0sumshdiglemA  44686  nn0sumshdiglemB  44687  nn0mullong  44692  amgmw2d  44912