MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzofi 12713
Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofi (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi
StepHypRef Expression
1 fzoval 12412 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
21adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3 fzfi 12711 . . 3 (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
42, 3syl6eqel 2706 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5 fzof 12408 . . . . 5 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
65fdmi 6009 . . . 4 dom ..^ = (ℤ × ℤ)
76ndmov 6771 . . 3 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8 0fin 8132 . . 3 ∅ ∈ Fin
97, 8syl6eqel 2706 . 2 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
104, 9pm2.61i 176 1 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  c0 3891  𝒫 cpw 4130   × cxp 5072  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  1c1 9881  cmin 10210  cz 11321  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407
This theorem is referenced by:  uzindi  12721  fnfzo0hashnn0  13173  wrdfin  13262  hashwrdn  13276  ccatalpha  13314  telfsumo  14461  fsumparts  14465  geoserg  14523  bitsfi  15083  bitsinv1  15088  bitsinvp1  15095  sadcaddlem  15103  sadadd2lem  15105  sadadd3  15107  sadaddlem  15112  sadasslem  15116  sadeq  15118  crth  15407  phimullem  15408  eulerthlem2  15411  eulerth  15412  phisum  15419  prmgaplem3  15681  cshwshashnsame  15734  ablfaclem3  18407  ablfac2  18409  iunmbl  23228  volsup  23231  dvfsumle  23688  dvfsumge  23689  dvfsumabs  23690  advlogexp  24301  dchrisumlem1  25078  dchrisumlem2  25079  dchrisum  25081  vdegp1bi  26319  eupthfi  26931  trlsegvdeglem6  26951  fz1nnct  29398  sigapildsys  30003  carsgclctunlem3  30160  ccatmulgnn0dir  30396  ofcccat  30397  signsplypnf  30404  signsvvf  30433  mvrsfpw  31108  poimirlem26  33064  poimirlem27  33065  poimirlem28  33066  poimirlem30  33068  amgm2d  37980  amgm3d  37981  amgm4d  37982  fourierdlem25  39653  fourierdlem70  39697  fourierdlem71  39698  fourierdlem73  39700  fourierdlem79  39706  fourierdlem80  39707  meaiunlelem  39989  pwdif  40797  2pwp1prm  40799  nn0sumshdiglemA  41702  nn0sumshdiglemB  41703  nn0mullong  41708  amgmw2d  41850
  Copyright terms: Public domain W3C validator