Theorem fzosplit 13062

Description: Split a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplit	⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐵..^𝐶) = ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)))

Proof of Theorem fzosplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶))
2		elfzelz 12900	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐷 ∈ ℤ)
3	2	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)) → 𝐷 ∈ ℤ)
4		fzospliti 13061	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝑥 ∈ (𝐷..^𝐶)))
5	1, 3, 4	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)) → (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝑥 ∈ (𝐷..^𝐶)))
6		elun 4123	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝑥 ∈ (𝐷..^𝐶)))
7	5, 6	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)))
8	7	ex 415	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝑥 ∈ ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶))))
9	8	ssrdv 3971	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)))
10		elfzuz3 12897	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐷))
11		fzoss2 13057	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐷) → (𝐵..^𝐷) ⊆ (𝐵..^𝐶))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐵..^𝐷) ⊆ (𝐵..^𝐶))
13		elfzuz 12896	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
14		fzoss1 13056	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐷..^𝐶) ⊆ (𝐵..^𝐶))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐷..^𝐶) ⊆ (𝐵..^𝐶))
16	12, 15	unssd 4160	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)) ⊆ (𝐵..^𝐶))
17	9, 16	eqssd 3982	1 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐵..^𝐶) = ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3932   ⊆ wss 3934  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℤcz 11973  ℤ_≥cuz 12235  ...cfz 12884  ..^cfzo 13025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026

This theorem is referenced by:  fzoun  13066  fzosplitsnm1  13104  fzo0to42pr  13116  fzo0sn0fzo1  13118  fzosplitsn  13137  ccatrn  13935  pfxsuffeqwrdeq  14052  dchrisumlem1  26057  dchrisumlem2  26058  crctcshwlkn0lem7  27586  wwlksnext  27663  fzodif1  30508  cycpmco2rn  30760  cycpmconjslem2  30790  fsum2dsub  31871  fzopred  43512