Theorem fzoval 12510

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 6697	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 6709	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 12505	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 6718	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpt2a 6833	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	con3i 150	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9		fzof 12506	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
10	9	fdmi 6090	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
11	10	ndmov 6860	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12	8, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
13		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13	con3i 150	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
15		fzf 12368	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
16	15	fdmi 6090	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
17	16	ndmov 6860	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
18	14, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
19	12, 18	eqtr4d 2688	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
20	19	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
21	6, 20	pm2.61ian 848	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191   × cxp 5141  (class class class)co 6690  1c1 9975   − cmin 10304  ℤcz 11415  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505

This theorem is referenced by:  elfzo  12511  fzon  12528  fzoss1  12534  fzoss2  12535  fz1fzo0m1  12555  fzval3  12576  fzo13pr  12592  fzo0to2pr  12593  fzo0to3tp  12594  fzo0to42pr  12595  fzo1to4tp  12596  fzoend  12599  fzofzp1b  12606  elfzom1b  12607  peano2fzor  12615  fzoshftral  12625  zmodfzo  12733  zmodidfzo  12739  fzofi  12813  hashfzo  13254  wrdffz  13358  revcl  13556  revlen  13557  revccat  13561  revrev  13562  revco  13626  fzosump1  14525  telfsumo  14578  fsumparts  14582  geoser  14643  geo2sum2  14649  dfphi2  15526  reumodprminv  15556  gsumwsubmcl  17422  gsumccat  17425  gsumwmhm  17429  efgsdmi  18191  efgs1b  18195  efgredlemf  18200  efgredlemd  18203  efgredlemc  18204  efgredlem  18206  cpmadugsumlemF  20729  advlogexp  24446  dchrisumlem1  25223  redwlklem  26624  wlkiswwlks2lem3  26825  wlkiswwlksupgr2  26831  clwlkclwwlklem2a  26964  wlk2v2e  27135  eucrct2eupth  27223  submat1n  29999  eulerpartlemd  30556  fzssfzo  30741  signstfvn  30774  bccbc  38861  monoords  39825  elfzolem1  39850  stirlinglem12  40620  iccpartiltu  41683  iccpartigtl  41684  iccpartgt  41688  pwdif  41826  pwm1geoserALT  41827  nnsum4primeseven  42013  nnsum4primesevenALTV  42014  nn0sumshdiglemA  42738  nn0sumshdiglemB  42739