MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzp1nel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzp1nel 12613
Description: One plus the upper bound of a finite set of integers is not a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzp1nel ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)

Proof of Theorem fzp1nel
StepHypRef Expression
1 zre 11569 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 ltp1 11049 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
3 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4 peano2re 10397 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
53, 4ltnled 10372 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
62, 5mpbid 222 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
87intnand 1000 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
983ad2ant2 1129 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
10 elfz2 12522 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
1110notbii 309 . . 3 (¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
12 imnan 437 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)) ↔ ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
1311, 12bitr4i 267 . 2 (¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
149, 13mpbir 221 1 ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072  wcel 2135   class class class wbr 4800  (class class class)co 6809  cr 10123  1c1 10125   + caddc 10127   < clt 10262  cle 10263  cz 11565  ...cfz 12515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-po 5183  df-so 5184  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-z 11566  df-fz 12516
This theorem is referenced by:  fprodm1  14892  gsumzaddlem  18517  wlkp1lem1  26776  wlkp1lem5  26780  fwddifnp1  32574  caratheodorylem1  41242
  Copyright terms: Public domain W3C validator