Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzprval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzprval 12351
 Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on ℕ. (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fzprval (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fzprval
StepHypRef Expression
1 1z 11359 . . . . 5 1 ∈ ℤ
2 fzpr 12346 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
4 df-2 11031 . . . . 5 2 = (1 + 1)
54oveq2i 6621 . . . 4 (1...2) = (1...(1 + 1))
64preq2i 4247 . . . 4 {1, 2} = {1, (1 + 1)}
73, 5, 63eqtr4i 2653 . . 3 (1...2) = {1, 2}
87raleqi 3134 . 2 (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ {1, 2} (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵))
9 1ex 9987 . . 3 1 ∈ V
10 2ex 11044 . . 3 2 ∈ V
11 fveq2 6153 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
12 iftrue 4069 . . . 4 (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
1311, 12eqeq12d 2636 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹‘1) = 𝐴))
14 fveq2 6153 . . . 4 (𝑥 = 2 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘2))
15 1ne2 11192 . . . . . . . 8 1 ≠ 2
1615necomi 2844 . . . . . . 7 2 ≠ 1
17 pm13.181 2872 . . . . . . 7 ((𝑥 = 2 ∧ 2 ≠ 1) → 𝑥 ≠ 1)
1816, 17mpan2 706 . . . . . 6 (𝑥 = 2 → 𝑥 ≠ 1)
1918neneqd 2795 . . . . 5 (𝑥 = 2 → ¬ 𝑥 = 1)
2019iffalsed 4074 . . . 4 (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
2114, 20eqeq12d 2636 . . 3 (𝑥 = 2 → ((𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹‘2) = 𝐵))
229, 10, 13, 21ralpr 4214 . 2 (∀𝑥 ∈ {1, 2} (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))
238, 22bitri 264 1 (∀𝑥 ∈ (1...2)(𝐹𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐹‘1) = 𝐴 ∧ (𝐹‘2) = 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ifcif 4063  {cpr 4155  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  1c1 9889   + caddc 9891  2c2 11022  ℤcz 11329  ...cfz 12276 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator