Theorem fzshftralt 6467

Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers.

Assertion

Ref	Expression
fzshftralt	⊢ ((M ∈ ℤ ⋀ N ∈ ℤ ⋀ K ∈ ℤ) → (∀j ∈ (M...N)φ ↔ ∀k ∈ ((M + K)...(N + K))[(k − K) / j]φ))

Distinct variable groups:   j,k,K   j,M,k   j,N,k   φ,k

Proof of Theorem fzshftralt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 6103	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		fzrevralt 6464	. . . 4 ⊢ ((M ∈ ℤ ⋀ N ∈ ℤ ⋀ 0 ∈ ℤ) → (∀j ∈ (M...N)φ ↔ ∀x ∈ ((0 − N)...(0 − M))[(0 − x) / j]φ))
3	1, 2	mp3an3 904	. . 3 ⊢ ((M ∈ ℤ ⋀ N ∈ ℤ) → (∀j ∈ (M...N)φ ↔ ∀x ∈ ((0 − N)...(0 − M))[(0 − x) / j]φ))
4	3	3adant3 798	. 2 ⊢ ((M ∈ ℤ ⋀ N ∈ ℤ ⋀ K ∈ ℤ) → (∀j ∈ (M...N)φ ↔ ∀x ∈ ((0 − N)...(0 − M))[(0 − x) / j]φ))
5		fzrevralt 6464	. . . 4 ⊢ (((0 − N) ∈ ℤ ⋀ (0 − M) ∈ ℤ ⋀ K ∈ ℤ) → (∀x ∈ ((0 − N)...(0 − M))[(0 − x) / j]φ ↔ ∀k ∈ ((K − (0 − M))...(K − (0 − N)))[(K − k) / x][(0 − x) / j]φ))
6		zsubclt 6125	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ⋀ N ∈ ℤ) → (0 − N) ∈ ℤ)
7	1, 6	mpan 694	. . . 4 ⊢ (N ∈ ℤ → (0 − N) ∈ ℤ)
8		zsubclt 6125	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ⋀ M ∈ ℤ) → (0 − M) ∈ ℤ)
9	1, 8	mpan 694	. . . 4 ⊢ (M ∈ ℤ → (0 − M) ∈ ℤ)
10		id 59	. . . 4 ⊢ (K ∈ ℤ → K ∈ ℤ)
11	5, 7, 9, 10	syl3an 867	. . 3 ⊢ ((N ∈ ℤ ⋀ M ∈ ℤ ⋀ K ∈ ℤ) → (∀x ∈ ((0 − N)...(0 − M))[(0 − x) / j]φ ↔ ∀k ∈ ((K − (0 − M))...(K − (0 − N)))[(K − k) / x][(0 − x) / j]φ))
12	11	3com12 836	. 2 ⊢ ((M ∈ ℤ ⋀ N ∈ ℤ ⋀ K ∈ ℤ) → (∀x ∈ ((0 − N)...(0 − M))[(0 − x) / j]φ ↔ ∀k ∈ ((K − (0 − M))...(K − (0 − N)))[(K − k) / x][(0 − x) / j]φ))
13		subnegt 5377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((K ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ) → (K − -M) = (K + M))
14		axaddcom 5258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((K ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ) → (K + M) = (M + K))
15	13, 14	eqtrd 1505	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((K ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ) → (K − -M) = (M + K))
16		df-neg 5341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -M = (0 − M)
17	16	opreq2i 3967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (K − -M) = (K − (0 − M))
18	15, 17	syl5eqr 1519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((K ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ) → (K − (0 − M)) = (M + K))
19	18	3adant3 798	. . . . . . . 8 ⊢ ((K ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℂ) → (K − (0 − M)) = (M + K))
20		subnegt 5377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((K ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℂ) → (K − -N) = (K + N))
21		axaddcom 5258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((K ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℂ) → (K + N) = (N + K))
22	20, 21	eqtrd 1505	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((K ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℂ) → (K − -N) = (N + K))
23		df-neg 5341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -N = (0 − N)
24	23	opreq2i 3967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (K − -N) = (K − (0 − N))
25	22, 24	syl5eqr 1519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((K ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℂ) → (K − (0 − N)) = (N + K))
26	25	3adant2 797	. . . . . . . 8 ⊢ ((K ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℂ) → (K − (0 − N)) = (N + K))
27	19, 26	opreq12d 3973	. . . . . . 7 ⊢ ((K ∈ ℂ ⋀ M ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℂ) → ((K − (0 − M))...(K − (0 − N))) = ((M + K)...(N + K)))
28	27	3coml 839	. . . . . 6 ⊢ ((M ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℂ ⋀ K ∈ ℂ) → ((K − (0 − M))...(K − (0 − N))) = ((M + K)...(N + K)))
29		zcnt 6097	. . . . . 6 ⊢ (M ∈ ℤ → M ∈ ℂ)
30		zcnt 6097	. . . . . 6 ⊢ (N ∈ ℤ → N ∈ ℂ)
31		zcnt 6097	. . . . . 6 ⊢ (K ∈ ℤ → K ∈ ℂ)
32	28, 29, 30, 31	syl3an 867	. . . . 5 ⊢ ((M ∈ ℤ ⋀ N ∈ ℤ ⋀ K ∈ ℤ) → ((K − (0 − M))...(K − (0 − N))) = ((M + K)...(N + K)))
33	32	raleq1d 1787	. . . 4 ⊢ ((M ∈ ℤ ⋀ N ∈ ℤ ⋀ K ∈ ℤ) → (∀k ∈ ((K − (0 − M))...(K − (0 − N)))[(0 − (K − k)) / j]φ ↔ ∀k ∈ ((M + K)...(N + K))[(0 − (K − k)) / j]φ))
34		negsubdi2t 5441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((K ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℂ) → -(K − k) = (k − K))
35		df-neg 5341	. . . . . . . . 9 ⊢ -(K − k) = (0 − (K − k))
36	34, 35	syl5eqr 1519	. . . . . . . 8 ⊢ ((K ∈ ℂ ⋀ k ∈ ℂ) → (0 − (K − k)) = (k − K))
37		elfzelz 6427	. . . . . . . . 9 ⊢ (k ∈ ((M + K)...(N + K)) → k ∈ ℤ)
38		zcnt 6097	. . . . . . . . 9 ⊢ (k ∈ ℤ → k ∈ ℂ)
39	37, 38	syl 10	. . . . . . . 8 ⊢ (k ∈ ((M + K)...(N + K)) → k ∈ ℂ)
40	36, 31, 39	syl2an 454	. . . . . . 7 ⊢ ((K ∈ ℤ ⋀ k ∈ ((M + K)...(N + K))) → (0 − (K − k)) = (k − K))
41		dfsbcq 1940	. . . . . . 7 ⊢ ((0 − (K − k)) = (k − K) → ([(0 − (K − k)) / j]φ ↔ [(k − K) / j]φ))
42	40, 41	syl 10	. . . . . 6 ⊢ ((K ∈ ℤ ⋀ k ∈ ((M + K)...(N + K))) → ([(0 − (K − k)) / j]φ ↔ [(k − K) / j]φ))
43	42	ralbidva 1657	. . . . 5 ⊢ (K ∈ ℤ → (∀k ∈ ((M + K)...(N + K))[(0 − (K − k)) / j]φ ↔ ∀k ∈ ((M + K)...(N + K))[(k − K) / j]φ))
44	43	3ad2ant3 801	. . . 4 ⊢ ((M ∈ ℤ ⋀ N ∈ ℤ ⋀ K ∈ ℤ) → (∀k ∈ ((M + K)...(N + K))[(0 − (K − k)) / j]φ ↔ ∀k ∈ ((M + K)...(N + K))[(k − K) / j]φ))
45	33, 44	bitrd 527	. . 3 ⊢ ((M ∈ ℤ ⋀ N ∈ ℤ ⋀ K ∈ ℤ) → (∀k ∈ ((K − (0 − M))...(K − (0 − N)))[(0 − (K − k)) / j]φ ↔ ∀k ∈ ((M + K)...(N + K))[(k − K) / j]φ))
46		oprex 3978	. . . . 5 ⊢ (K − k) ∈ V
47		oprex 3978	. . . . . 6 ⊢ (0 − x) ∈ V
48	47	ax-gen 962	. . . . 5 ⊢ ∀x(0 − x) ∈ V
49		opreq2 3964	. . . . . 6 ⊢ (x = (K − k) → (0 − x) = (0 − (K − k)))
50	49	sbcco3g 2038	. . . . 5 ⊢ (((K − k) ∈ V ⋀ ∀x(0 − x) ∈ V) → ([(K − k) / x][(0 − x) / j]φ ↔ [(0 − (K − k)) / j]φ))
51	46, 48, 50	mp2an 696	. . . 4 ⊢ ([(K − k) / x][(0 − x) / j]φ ↔ [(0 − (K − k)) / j]φ)
52	51	ralbii 1665	. . 3 ⊢ (∀k ∈ ((K − (0 − M))...(K − (0 − N)))[(K − k) / x][(0 − x) / j]φ ↔ ∀k ∈ ((K − (0 − M))...(K − (0 − N)))[(0 − (K − k)) / j]φ)
53	45, 52	syl5bb 531	. 2 ⊢ ((M ∈ ℤ ⋀ N ∈ ℤ ⋀ K ∈ ℤ) → (∀k ∈ ((K − (0 − M))...(K − (0 − N)))[(K − k) / x][(0 − x) / j]φ ↔ ∀k ∈ ((M + K)...(N + K))[(k − K) / j]φ))
54	4, 12, 53	3bitrd 543	1 ⊢ ((M ∈ ℤ ⋀ N ∈ ℤ ⋀ K ∈ ℤ) → (∀j ∈ (M...N)φ ↔ ∀k ∈ ((M + K)...(N + K))[(k − K) / j]φ))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 774  ∀wal 953   = wceq 955   ∈ wcel 957  [wsbc 1169  ∀wral 1643  Vcvv 1808  (class class class)co 3958  ℂcc 5215  0cc0 5217   + caddc 5220   − cmin 5275  -cneg 5276  ℤcz 5281  ...cfz 6412

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-n 5883  df-n0 6057  df-z 6093  df-fz 6413

Copyright terms: Public domain