Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzspl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzspl 29678
Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. (more generic than fzsuc 12426) (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzspl (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))

Proof of Theorem fzspl
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11735 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
21zcnd 11521 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
3 1zzd 11446 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 1 ∈ ℤ)
43zcnd 11521 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 1 ∈ ℂ)
52, 4npcand 10434 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
65eleq1d 2715 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
76ibir 257 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
8 eluzelre 11736 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
98lem1d 10995 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
101, 3zsubcld 11525 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
11 eluz1 11729 . . . . 5 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)))
131, 9, 12mpbir2and 977 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
14 fzsplit2 12404 . . 3 ((((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1))) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)))
157, 13, 14syl2anc 694 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)))
165oveq1d 6705 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁) = (𝑁...𝑁))
17 fzsn 12421 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
181, 17syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
1916, 18eqtrd 2685 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁) = {𝑁})
2019uneq2d 3800 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
2115, 20eqtrd 2685 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cun 3605  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975   + caddc 9977  cle 10113  cmin 10304  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365
This theorem is referenced by:  fzdif2  29679  ballotlemfp1  30681
  Copyright terms: Public domain W3C validator