Theorem fzssuz 12573

Description: A finite set of sequential integers is a subset of an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzssuz	⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

Proof of Theorem fzssuz

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 12529	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	ssriv 3746	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

Syntax hints:   ⊆ wss 3713  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  ℤ_≥cuz 11877  ...cfz 12517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-ral 3053  df-rex 3054  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-id 5172  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-fv 6055  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-neg 10459  df-z 11568  df-uz 11878  df-fz 12518

This theorem is referenced by:  fzssnn  12576  fzof  12659  ltwefz  12954  seqcoll2  13439  caubnd  14295  climsup  14597  summolem2a  14643  fsumss  14653  fsumsers  14656  isumclim3  14687  binomlem  14758  prodmolem2a  14861  fprodntriv  14869  fprodss  14875  iprodclim3  14928  fprodefsum  15022  isprm3  15596  2prm  15605  prmreclem5  15824  4sqlem11  15859  vdwnnlem1  15899  gsumval3  18506  telgsums  18588  fz2ssnn0  29854  esumpcvgval  30447  esumcvg  30455  eulerpartlemsv3  30730  ballotlemfc0  30861  ballotlemfcc  30862  ballotlemiex  30870  ballotlemsdom  30880  ballotlemsima  30884  ballotlemrv2  30890  fsum2dsub  30992  erdszelem4  31481  erdszelem8  31485  volsupnfl  33765  sdclem2  33849  geomcau  33866  diophin  37836  irrapxlem1  37886  fzssnn0  40029  iuneqfzuzlem  40046  fzossuz  40094  uzublem  40153  climinf  40339  sge0uzfsumgt  41162  iundjiun  41178  caratheodorylem1  41244